函數百問 函數?
[size=4]何謂函數?[/size][size=4][/size]
[size=4]函數的平移? 伸縮? 對稱?[/size]
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[size=4]何謂奇函數? 何謂偶函數? [size=6]何為反函數?[/size] [/size]
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[size=4]一次函數是什麼? 圖形?[/size]
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[size=4]二次函數是什麼? 圖形?[/size]
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[size=4]三次函數是什麼? 圖形?[/size]
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[size=4]絕對值函數?[/size] [quote]原帖由 [i]futureyesi[/i] 於 2007-7-29 03:37 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=253&ptid=225][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
何謂函數?[/quote]
函數就是把某集合裡的元素，對應到另一個集合裡的元素的關係，
如果函數 f 把集合 A 裡的元素，對應到集合 B 裡的元素，
則稱 A 為定義域，B 為對應域。
函數 f 必定要滿足
(i) 定義域 A 裡面的每個元素都要可以對應出去，也就是"在 A 裡面的每個元素，都要有一個B 裡面的元素與之相對應。"
(ii)函數的對應不可以一對多，也就是，"在 A 裡面的每個元素，至多只能有一個 B 裡面的元素與之相對應。"
如果函數 f 把定義域 A 裡面的元素 x ，對應到對應域 B 裡面的元素 y 的話，就記作是 f(x)=y ，或是 f : x → y 。
[quote]函數的平移? 伸縮? 對稱?[/quote]
若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上，將 y=f(x) 圖形向右平移 h 單位長後，
欲求平移後的圖形的方程式表示法，可以假設經平移後的圖形上有點 (x0,y0)
則，將 (x0,y0) 向左平移 h 單位長，得點 (x0-h,y0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式，
故 y0 = f(x0-h) ，意即平移後的點要滿足的方程式為 y=f(x-h)。
若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上，將 y=f(x) 圖形向上平移 h 單位長後，
欲求平移後的圖形的方程式表示法，可以假設經平移後的圖形上有點 (x0,y0)
則，將 (x0,y0) 向下平移 h 單位長，得點 (x0,y0-h) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式，
故 y0-h = f(x0) ，意即平移後的點要滿足的方程式為 y-h=f(x)。
若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上，將 y=f(x) 圖形上的點 y 座標不變，x 座標放大為原來的 k 倍，
欲求伸縮後的圖形的方程式表示法，可以假設經伸縮後的圖形上有點 (x0,y0)
則，將 (x0,y0) 的 y 座標不變，x 座標縮小為原來的 1/k 倍，得點 (x0 / k ,y0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式，
故 y0= f(x0/k) ，意即伸縮後的點要滿足的方程式為 y=f(x / k)。
若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上，將 y=f(x) 圖形上的點 x 座標不變，y 座標放大為原來的 k 倍，
欲求伸縮後的圖形的方程式表示法，可以假設經伸縮後的圖形上有點 (x0,y0)
則，將 (x0,y0) 的 x 座標不變，y 座標縮小為原來的 1/k 倍，得點 (x0 ,y0 / k ) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式，
故 y0 / k = f(x0) ，意即伸縮後的點要滿足的方程式為 y / k =f(x)。
若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上，將 y=f(x) 圖形經對稱 x 軸而得新圖形，
欲求對稱後的圖形的方程式表示法，可以假設經對稱後的圖形上有點 (x0,y0)
則，將 (x0,y0) 經反對稱 x 軸，得點 (x0 , - y0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式，
故 - y0= f(x0) ，意即對稱後的點要滿足的方程式為 - y=f(x)。
若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上，將 y=f(x) 圖形經對稱 y 軸而得新圖形，
欲求對稱後的圖形的方程式表示法，可以假設經對稱後的圖形上有點 (x0,y0)
則，將 (x0,y0) 經反對稱 y 軸，得點 (-x0 ,y0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式，
故 y0= f(-x0) ，意即對稱後的點要滿足的方程式為 y=f(-x)。
若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上，將 y=f(x) 圖形經對稱 x=y 直線而得新圖形，
欲求對稱後的圖形的方程式表示法，可以假設經對稱後的圖形上有點 (x0,y0)
則，將 (x0,y0) 經反對稱 x=y 直線，得點 (y0, x0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式，
故 x0= f(y0) ，意即對稱後的點要滿足的方程式為 x=f(y)。
(因原函數可能有多對一的情形，故對稱x=y直線後， y 不見得仍為 x 的函數)
若函數 y=f(x) 畫在xy直角座標平面上，將 y=f(x) 圖形經對稱原點 (0,0) 而得新圖形，
欲求對稱後的圖形的方程式表示法，可以假設經對稱後的圖形上有點 (x0,y0)
則，將 (x0,y0) 經反對稱原點 (0,0) ，得點 (-x0, -y0) 必滿足原圖形的 y=f(x) 方程式，
故 -y0= f(-x0) ，意即對稱後的點要滿足的方程式為 -y=f(-x)。
[quote]何謂奇函數? 何謂偶函數? 何為反函數? [/quote]
奇函數：若函數 f 滿足 f(-a) = -f(a) （帶負數、帶正數進去，出來的結果會恰好只差一個負號），則稱 f 為奇函數。
例如： f(x) = x^3 ，帶入 2 與 -2 看看， f(2)=8, f(-2) = -8，帶進去的東西只差在異號，出來的結果也恰好只差在異號而已。
偶函數：若函數 f 滿足 f(-a) = f(a) （帶負數、帶正數進去，出來的結果卻都一樣），則稱 f 為偶函數。
例如： f(x) = x^2 ，帶入 2 與 -2 看看， f(2)=4, f(-2) = 4，帶進去的東西只差在異號，出來的結果卻剛好相等。
反函數：已知函數 f 由定義域 A 映至對應域 B ，如果恰恰好能找到另外一個函數 g ，蠻足 g 由 B 映至 A ，且
滿足條件 (i) 若 f(a)=b ，則 g(b)=a
以及條件 (ii) 若 g(b)=a ，則 f(a)=b
（也就是 f,g 剛剛好都做相反的動作）
則稱 f 與 g 互為對方的反函數。
例如，f(x)= 2x+1 （f把丟給它的數據，都乘以兩倍，並且加上一），g(x)=(x-1)/2（g把丟給它的數據，都減掉一，然後除以二）
f 與 g 互為對方的反函數。
[quote]一次函數是什麼? 圖形?[/quote]
形如 f(x) = ax+b (其中a,b 都是實數，且 a≠0) 的函數，因為 x 的最高次方數恰好等於 1 ，所以稱作是一次函數。
y=f(x)=ax+b 的圖形，是一條直線（但因為a≠0所以不是水平線；也不是鉛錘線。）
[quote]二次函數是什麼? 圖形?[/quote]
形如 f(x) = ax^2+bx+c (其中a,b,c 都是實數，且 a≠0) 的函數，因為 x 的最高次方數恰好等於 2 ，所以稱作是二次函數。
y=f(x)=ax^2+bx+c 的圖形，是一條拋物線（也就是只有一個凹口的圖形，若 a>0 則開口凹向上，若 a<0 則開口凹向下。）
[quote]三次函數是什麼? 圖形?[/quote]
形如 f(x) = ax^3+bx^2+cx+d (其中a,b,c,d 都是實數，且 a≠0) 的函數，因為 x 的最高次方數恰好等於 3 ，所以稱作是三次函數。
y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d 的圖形，若 a>0 ，則圖形一條由左下至右上的曲線，可能有凹口，也可能沒有凹口，至多有兩個凹口；
若 a<0 ，則圖形一條由左上至右下的曲線，可能有凹口，也可能沒有凹口，至多有兩個凹口。
[quote]絕對值函數? ... [/quote]
絕對值函數就是絕對值，如果 a≧0 ，則 |a|=a ；如果 a<0 ，則 |a|=-a。
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