104景美女中
美夢成真教甄論壇討論文章[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=3726&sid=ba1d0b03ee8aa3eac7b60ef029d47442[/url]
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2015-5-5 08:55 PM 編輯 [/i]] 3.
棋子放在位置\( B \)，擲一顆公正骰子，若擲得點數1或2，則棋子往左移動一格(至)
8.
設\( n \in N \)，\( n \le 30 \)，則滿足\( (sin \theta+i cos \theta)^n=sin n \theta+i cos n \theta \)之所有\( n \)的總和為？
(101全國高中聯招，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1385&page=4#pid6073[/url]) 11 想請教第2題,謝謝
回復 4# 阿光 的帖子
第二題我是這樣做因為 PA=PB 設AB之中點為M 直線PM的每一點P'皆會滿足P'A=P'B
找C在直線AB的投影點H，向量CH為PM的方向向量
景美沒公布答案，若想法有錯請指正。
回復 3# 阿光 的帖子
第11題我是用Lagrange Multiplier Method不過有引入兩個乘數
令F(x)=x+λ(x+y+z)+ δ(x^2+y^2+z^2-6)
再分別對 x,y,z 作偏導數且令等於0
最後找出來 x 為 2 or -2 而且y=z
(1) x 的範圍在 -2≦x≦2
(2) (x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)=x^2+y^2+z^2
故xy+yz+zx=-3
(3) Max= 6 Min=-6
不知道這樣行不行的通，如果有錯煩請指正
回復 6# cathy80609 的帖子
第 11 題(1)常見的考古題，用柯西就行了
回復 7# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴老師的提醒!!原來只要用柯西就能得到第一題了!
而且很快!
我的方法要解好久!
感謝老師 [size=3]試解第 11 題。[/size]
[size=3]x, y, z ∈ R，x + y + z = 0，x² + y² + z² = 6，求: (1) x 的範圍 (2) xy + yz + zx 之值 (3) x³ + y³ + z³ 之最大值及最小值。[/size]
[size=3][/size]
[size=3](1)[/size]
[size=3]z = -x-y 代入 x² + y² + z² = 6:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]x² + y² + (x+y)² = 6[/size]
[size=3]x² + y² + xy - 3 = 0[/size]
[size=3]y² + xy + (x² - 3) = 0[/size]
[size=3]x² - 4(x² - 3) ≥ 0[/size]
[size=3]x² ≤ 4[/size]
[size=3][color=red]-2 ≤ x ≤ 2[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]鋼琴老師提示用柯西，是否如:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][ x² + y² + (x+y)² ]*[ (-2)² + (1)² + (-1)² ] ≥ (-2x + y - x - y )² = 9x² [/size]
[size=3][/size]
[size=3]4 ≥ x²[/size]
[size=3][/size]
[size=3]-2 ≤ x ≤ 2 (兩邊"="皆成立)[/size]
[size=3][/size]
[size=3](2)[/size]
[size=3]xy + yz + zx = (0-6) /2 = [color=red]-3[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3](3)[/size]
[size=3]看到 x + y + z = 0，考慮 x³ + y³ + z³，難免想到:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]x, y, z ∈ R，則: [/size]
[size=3]x + y + z = 0 或 x = y = z ⇔ x³ + y³ + z³ = 3xyz[/size]
[size=3][/size]
[size=3]所以轉化為考慮 3xyz 之最大值及最小值。[/size]
[size=3]看到這個型態可能會想用 x² + y² + z² = 6 配合算幾不等式求之，但 x + y + z = 0 這個條件似乎使此路不通(或許可以，只是我想不出來)。所以另謀它法: [/size]
[size=3][/size]
[size=3]由條件型式聯想到: x, y, z 是方程式 f(p) = p³ - 3p - k = 0 (k = xyz) 的三個實根。k 的範圍即要使 f(p) = 0 有三個實根，亦即 f(α)*f(β) ≤ 0，在此 α, β 是 f'(p) = 3p² - 3 = 0 的二個實根(即 1 與 -1)。因此:[/size]
[size=3][/size]
[size=3](1-3-k)*(-1+3-k) ≤ 0[/size]
[size=3][/size]
[size=3]-2 ≤ k ≤ 2[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=red]-6[/color] ≤ 3k = 3xyz = x³ + y³ + z³ ≤[color=red] 6[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]這個方法如果可行，則亦可用來求 x + y + z = h ≠ 0，x² + y² + z² = k 時(當然 h, k 的取值須使 x,y,z 有實數解)，x³ + y³ + z³ 之最大值及最小值:[/size]
[size=3]只要多一步 x³ + y³ + z³ - 3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx ) 轉化即可 (右式是常數)。[/size]
[size=3][/size]
回復 9# cefepime 的帖子
是利用以下式子，cefepime 兄的式子更簡潔\(\begin{align}
& \left( {{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\left( {{1}^{2}}+{{1}^{2}} \right)\ge {{\left( y+z \right)}^{2}} \\
& 2\left( 6-{{x}^{2}} \right)\ge {{\left( -x \right)}^{2}} \\
& -2\le x\le 2 \\
\end{align}\)
第(3)小題，前幾天 superlori 兄也提供了同樣的妙解
回復 4# 阿光 的帖子
第二題設AB中點M，P 必在 AB 的中垂面上，且在ABC平面上
換句話說，PM 方向向量，必垂直 AB向量，且垂直ABC平面的法向量
用行列式可以把PM的方向向量逼出來，就可以由M走到P 請教第6，第9題
回復 12# Chen 的帖子
第6題. \( O \) 為平面上任一參考點，以 \( O \) 拆解向量 \( \vec{XY} = \vec{OY} - \vec{OX} \)則可得 \( \vec{OP} = \frac{\vec{OA}+2\vec{OB}}{3}, \vec{OQ} = \frac{\vec{OB}+\vec{OC}}{2}, \vec{OR} = \frac{2\vec{OA}+3\vec{OC}}{5} \)
因此 \( P,Q,R \) 為三角形三邊上的內分點。
\( \triangle PQR = \triangle ABC - \triangle BPQ - \triangle APR- \triangle CQR =
(1 - \left( \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2} + \frac{2}{3}\cdot\frac{3}{5} + \frac{1}{2}\cdot\frac{2}{5}) \right) \triangle ABC = \frac 7{30} \triangle ABC\) (皆為面積)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2015-6-24 11:06 PM 編輯 [/i]]
回復 12# Chen 的帖子
可參考 superlori 兄提供的詳解[url]https://www.dropbox.com/s/ku6xz6ssmyud1eg/104%E6%99%AF%E7%BE%8E%E5%A5%B3%E4%B8%AD%E8%87%AA%E7%B7%A8%E8%A9%B3%E8%A7%A3.pdf?dl=0[/url]
第一題
小學四年級作法頁:
[1]