104彰化高中
剛剛在ptt看到的，就給大家分享討論 8.\( x^3+3x-2=0 \)在0與1之間有一個實數解\( x_0 \)，試解\( x_0 \)。
[提示]
用\( \displaystyle x=t-\frac{1}{t} \)代換
更多類題[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=21&page=1#pid1228[/url]
12.
設\( \Delta ABC \)滿足\( \overline{AB}=\overline{AC} \)。若點\( P \)是\( \Delta ABC \)的內部一點，且\( ∠ACP=30^{\circ} \)、\( ∠PCB=2∠PBC \)。若直線\( CP \)與中線\( \overline{AD} \)交於點\( F \)，試證：\( \overline{AP} \)是\( \Delta CAF \)的一內角平分線。
(99高中數學能力競賽 第二區(新店高中)筆試試題，[url]http://e-tpd.kssh.khc.edu.tw/sys/read_attach.php?id=3688[/url])
13.
安排\( n \)個人進入\( A,B,C \)三間房間，\( A \)房間必須有奇數個人，試問有幾種不同的安排方法？
(99高中數學能力競賽 口試試題，[url]http://www.math.ntnu.edu.tw/museum/files/semi_finals/99/99_north3_semi-finals_oralexam_1s_new.pdf[/url])
連結有解答
彰中誤上傳檔案
好不容易找到了^^大家可以多一份練習 104彰化高中預備試題
5.
若\( \displaystyle (x+1)(x+2)(x+3)\ldots(x+15)=\sum_{k=0}^{15}a_kx^k \)，求\( a_{12} \)之值。
將十次多項式\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+8)(x+9)(x+10) \)展開後得\( \displaystyle x^{10}+55x^9+a_8x^8+a_7x^7+\displaystyle+10! \)，若\( a_8=55M \)，\( a_7=55^2N \)，其中\( M,N \)為正整數，求數對\( (M,N)= \)[u] [/u]。
(101文華高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=8#pid5478[/url])
8.
求\( \displaystyle \sum_{k=3}^{2015}\frac{k}{k!+(k-1)!+(k-2)!} \)之值。
前幾天PTT數學版才問過[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1429795511.A.3F6.html[/url]
五年前的4/18我將這題放在我的"教甄準備之路"上，五年後差點有教甄題目考出來(殘念)
(我的教甄準備之路 裂項相消，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=2#pid1678[/url])
將原本的題目及出處列出來表示尊重，感謝出了這麼棒的題目，網址可以下載歷年試題。
Evaluate\( \displaystyle \frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\ldots+\frac{2004}{2002!+2003!+2004!} \).
(國際數學奧林匹克2004香港選拔賽，[url]http://www.hkage.org.hk/b5/competitions/detail/858[/url])
12.
設數列\( \{\; a_n \}\; \)滿足\( a_{k+2}=a_{k+1}-a_k \)，\( \forall k \in N \)，而且前2000項和為2014，前2014項和為2000。試求前2015項之總和。
thepiano解答[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?t=3719[/url]
有一數列\( S_1,S_2,S_3,\ldots,S_{10} \)滿足從第三項開始，每一項為前兩項之和，即\( S_n=S_{n-2}+S_{n-1} \)，\( n \ge 3 \)。若\( S_9=110 \)且\( S_7=42 \)，則\( S_4= \)？
(A)4 (B)6 (C)10 (D)12 (E)16
(2013AMC12，[url]http://www.artofproblemsolving.com/community/c4877_2013_amc_12ahsme[/url])
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2015-4-29 04:29 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]liuo[/i] 於 2015-4-29 11:59 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13092&ptid=2235][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
好不容易找到了^^
大家可以多一份練習 [/quote]
竟然有隱藏版~ [quote]原帖由 [i]agan325[/i] 於 2015-4-29 11:22 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13090&ptid=2235][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
剛剛在ptt看到的，就給大家分享討論 [/quote]
#2
證明f(n)=n^(1/n)為嚴格遞減~
#3
令a^2=1648+x^3 -------(1)
b^2=4949-x^3 --------(2)
則a^2+b^2=6597 --------(3)
又a-b=75 ----------(4)
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
75^2=6597-2ab,得ab=486------(5)
由(4)&(5)解得a=81 , b=6 代入(2)
得x^3=4913 ,x=17
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2015-4-29 12:38 PM 編輯 [/i]]
回復 6# Ellipse 的帖子
第二題同 [url]https://math.pro/db/thread-914-1-1.html[/url]回復 6# Ellipse 的帖子
#1 101中正高中二招考題#2 考慮函數f(x)=ln(x)/x
#13 100桃園新進教師聯招
好像有些都是考古題
請益第4題
試過幾種組何級數的辦法都不適用，問題卡在分母的k處理不掉，請各位先進指教。 [quote]原帖由 [i]basess8[/i] 於 2015-4-29 09:02 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13102&ptid=2235][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]試過幾種組何級數的辦法都不適用，問題卡在分母的k處理不掉，請各位先進指教。 [/quote]
個人感覺題目打錯了~
應該是Sigma {k=1 to n} (5^k / k)*C(n,[color=Red]k-1[/color])
不然化簡後的另一端,積分積不出來...
我積不出來,交給mathematica來積,它也無法...
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2015-4-29 10:04 PM 編輯 [/i]]
回復 9# basess8 的帖子
分母是k+1就可以算出了...回復 10# Ellipse 的帖子
計算4. 同感，但這題是不等式，即使的打錯的題目還是能做，只是會很難做基本上可以利用 \( \frac 1k > \frac 1{k+1} \) 得到 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k}\geq \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k+1}=\frac{1}{5\cdot(n+1)}\sum_{k=1}^{n}5^{k+1}C_{k+1}^{n+1}=\frac{6^{n+1}-1}{5(n+1)}-1 \)
由此可得 \( n =2020 \) 時，\( \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k} \geq 6^{2015} \)。基本上猜測就是 2020 了。
剩下是另一端的不等式，而 \( n = 2019 \) 時 \( \frac{6^{2020}-1}{5\cdot2020}-1 \approx 6^{2015}\cdot \frac{6^5}{5\cdot2020} \approx 0.77 \cdot 6^{2015} \)
再估得準一些 \( \displaystyle \sum_{k=4}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k}\leq\frac{5}{4}\sum_{k=4}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k+1}=\frac{1}{4\cdot(n+1)}\sum_{k=4}^{n}5^{k+1}C_{k+1}^{n+1}\leq\frac{6^{n+1}}{4(n+1)} \)
故 \( \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k}\leq\frac{6^{n+1}}{4(n+1)}+\frac{5C_{1}^{n}}{1}+\frac{5^{2}C_{2}^{n}}{2}+\frac{5^{3}C_{3}^{n}}{3}\leq\frac{6^{n+1}}{4(n+1)}+(5n)^{3} \)
\( n=2019 \) 時 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k} \leq \frac{486}{505}\cdot6^{2015}+10095^{3}\)
比較 \( \frac{19}{505}\cdot6^{2015} \) 和 \( 10095^{3} \) 可得 \( 10095^{3} \ll \frac{19}{505}\cdot6^{2015} \) (可用 log)
故 \( n=2019 \) 時 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{5^{k}C_{k}^{n}}{k} \leq 6^{2015} \)
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2015-4-29 10:33 PM 編輯 [/i]]
回復 10# Ellipse 的帖子
我是用積分做積分做出來左式好像是---積分[(1+x)^n]/x dx
然後我就放棄了XD
回復 9# basess8 的帖子
分母為k時的級數和為s，分母為k+1時的級數和為t，驗證 t<s<2t，
而 t 約等於 (6^(n+1))/5(n+1)，
得出 n+1 須為 2020，
因此 n 為2019
(喔，看錯題目了，
n 應該是2020)
[[i] 本帖最後由 farmer 於 2015-4-29 11:12 PM 編輯 [/i]]
回復 12# tsusy 的帖子
這題若是故意這樣出,個人是覺得出得很不漂亮~[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2015-4-29 11:49 PM 編輯 [/i]]
答案
彰中在今天公布了答案，而且附上詳解...(真是佛心來著)大家參考看看吧～
回復 16# broken 的帖子
#4公佈內容後就露餡了
根本是題目漏打……
回復 17# Ellipse 的帖子
第 4 題詳解中的第一個等號就錯了...
第一個等號若要相等，分母要改成 k+1
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2015-4-30 10:57 AM 編輯 [/i]]
請益 3# liuo 的帖子
[quote]原帖由 [i]liuo[/i] 於 2015-4-29 11:59 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13092&ptid=2235][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]好不容易找到了^^
大家可以多一份練習 [/quote]
關於這份誤傳的試題
想請教，第8題、第11題、第13題。
ps.#8分母提出(k-2)!後 整理成\(\sum_{k=1}^{2015}\frac{k-1}{k!}\) 然後就卡住了。
[[i] 本帖最後由 EZWrookie 於 2015-5-5 04:50 PM 編輯 [/i]]
回復 19# EZWrookie 的帖子
誤版第8題您只差一步
\(\begin{align}
& \frac{k}{k!+\left( k-1 \right)!+\left( k-2 \right)!} \\
& =\frac{\frac{k}{\left( k-1 \right)!}}{k+1+\frac{1}{k-1}} \\
& =\frac{\frac{k}{\left( k-1 \right)!}}{\frac{{{k}^{2}}}{k-1}} \\
& =\frac{k-1}{k!} \\
& =\frac{1}{\left( k-1 \right)!}-\frac{1}{k!} \\
\end{align}\)
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