104文華高中
weiye 註：數學科填充題第十格原公布答案 648 更正為324。公告網址：h ttp://www.whsh.tc.edu.tw/ischool/public/news_view/show.php?nid=1164 連結已失效
104.5.2版主補充
以下資料供以後考生參考：
初試最低錄取分數 48分
取14名參加複試，錄取2名
68,68,56,54,54,54,51,50,50,50,50,48,48,48
其他，
40~47分 17人
30~39分 54人
20~29分 79人
10~19分 85人
0~9分 26人
缺考 33人
共計 308 人 3.
化簡\( (\sqrt{19}+\sqrt{20}+\sqrt{21})(\sqrt{19}+\sqrt{20}-\sqrt{21})(\sqrt{19}+\sqrt{21}-\sqrt{20})(\sqrt{20}+\sqrt{21}-\sqrt{19}) \)之值為。
[提示]
看成三邊長為\( 2\sqrt{19} \),\( 2\sqrt{20} \),\( 2\sqrt{21} \)的三角形，海龍公式。
Evaluate the product \( (\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(-\sqrt{5}+\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}-\sqrt{6}+\sqrt{7})(\sqrt{5}+\sqrt{6}-\sqrt{7}) \).
(1986AIME，[url]http://www.artofproblemsolving.com/community/c4883_1986_aime_problems[/url])
14.
若正奇數\( n \)及一銳角\( \theta \)使得聯立方程組\( \displaystyle \cases{(1+csc \theta)^nx-y=0 \cr (1+sec \theta)^ny+z=0 \cr 5^nx+(sin2\theta)^nz=0} \)的解不只一組，則\( sin\theta+cos\theta+tan\theta+cot\theta+sec\theta+csc\theta= \)
設有一奇整數\( n \)及一角\( \theta \)使得聯立方程式\( \displaystyle \cases{3^n y+(sin 2\theta)^n z=0 \cr (1+sec \theta)^n x+z=0 \cr -x+(1+csc \theta)^n y=0} \)中的\( x,y \)與\( z \)不只一組解，試求\( sin\theta+cos\theta+tan\theta+cot\theta+sec\theta+csc\theta \)之值。
(98筆試一，臺灣師大數學系大學甄選入學指定項目甄試試題，h ttp://www.math.ntnu.edu.tw/down/archive.php?class=105連結已失效)
(103台中二中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1901&page=3#pid10741[/url]) 可以請問一下第10題嗎？
一直算成324...@@ 648沒錯！！！
[quote]原帖由 [i]sundialbird[/i] 於 2015-4-25 09:30 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13038&ptid=2231][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
可以請問一下第10題嗎？
一直算成324...@@ [/quote]
回復 3# sundialbird 的帖子
小弟也是算 324回復 3# sundialbird 的帖子
因為首項係數為2所以中間會寫到 2(x-a)(x-b)(x-c)
x=11/2 代入....................
所以我也算324 第12題：若 \(\alpha, \beta, \gamma\) 是一元三次方程式 \(2x^3-3x^2-12x+16=0\) 的三個根，則 \(\left(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\right)\left(\beta^2+\beta\gamma+\beta^2\right)\left(\gamma^2+\gamma+\alpha^2\right)\) 的值為何？
解：
\(\displaystyle\left(\alpha^2+\alpha\beta+\beta^2\right)\left(\beta^2+\beta\gamma+\beta^2\right)\left(\gamma^2+\gamma+\alpha^2\right)=\frac{\left(\alpha^3-\beta^3\right)\left(\beta^3-\gamma^3\right)\left(\gamma^3-\alpha^3\right)}{\left(\alpha-\beta\right)\left(\beta-\gamma\right)\left(\gamma-\alpha\right)}\)
因為 \(\alpha, \beta, \gamma\) 是一元三次方程式 \(2x^3-3x^2-12x+16=0\) 的三個根，
所以 \(2\alpha^3-3\alpha^2-12\alpha+16=0\) 且 \(2\beta^3-3\beta^2-12\beta+16=0\)
\(\Rightarrow 2\alpha^3=3\alpha^2+12\alpha-16\) 且 \(2\beta^3=3\beta^2+12\beta-16\)
兩者相減，可得 \(2\left(\alpha^3-\beta^3\right)=3\left(\alpha-\beta\right)\left(\alpha+\beta+4\right)\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{\alpha^3-\beta^3}{\alpha-\beta}=\frac{3}{2}\left(\alpha+\beta+4\right)\)
由根與係數關係式，可得 \(\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=\frac{3}{2}\Rightarrow \alpha+\beta+4=\frac{11}{2}-\gamma\)
\(\displaystyle\Rightarrow \frac{\alpha^3-\beta^3}{\alpha-\beta}=\frac{3}{2}\left(\alpha+\beta+4\right)=\frac{3}{2}\left(\frac{11}{2}-\gamma\right)\)
同理可得，\(\displaystyle\frac{\beta^3-\gamma^3}{\beta-\gamma}=\frac{3}{2}\left(\frac{11}{2}-\alpha\right)\) 且 \(\displaystyle\frac{\gamma^3-\alpha^3}{\gamma-\alpha}=\frac{3}{2}\left(\frac{11}{2}-\beta\right)\)
故，所求＝\(\displaystyle\frac{27}{8}\left(\frac{11}{2}-\gamma\right)\left(\frac{11}{2}-\alpha\right)\left(\frac{11}{2}-\beta\right)=\frac{27}{8}\left(\left(\frac{11}{2}\right)^3-\frac{3}{2}\left(\frac{11}{2}\right)^2-6\left(\frac{11}{2}\right)+8\right)=324.\)
註： 令 \(f(x)=2x^3-3x^2-12x+16\)，解 \(f\,'(x)=0\) 得 \(x=2\) 或 \(x=-1\)。由 \(f(2)f(-1)<0\)，可知 \(f(x)=0\) 有三相異根，即 \(\left(\alpha-\beta\right)\left(\beta-\gamma\right)\left(\gamma-\alpha\right)\neq0\)。 第1題、第2題如圖，
如果觀念有錯誤請幫忙指正!!謝謝，
其實第二題我也只是馬後炮...
在車上才想到要這樣做
一開始一直在解\(a^2-ab-b^2=0\)移項\(a^2-b^2=ab\)，\((a+b)(a-b)=ab\)但是後來我就解不出來了 冏....
看來還是得要多多熟悉考場的感覺，不然一進去有種腦袋一片空白的感覺..
1.
將一長、寬、高分別為3、6、9的長方體盒子放於桌面上(設為\(xy\)平面)，若已知其中一頂點\(A(2,1,0)\)，與\(A\)相鄰兩頂點坐標為\(B(3,3,2)\)、\(C(8,-5,3)\)，則此長方體最高點距離桌面高度為[u] [/u]。
[解答]
長：3
寬：6
高：9
\(A(2,1,0)\)、\(B(3,3,2)\)、\(C(8,-5,3)\)
\(\overline{AB}=3\)、\(\overline{AC}=9\)
\(\vec{AB}=(1,2,2)\)、\(\vec{AC}=(6,-6,3)\)
公垂向量\(=(2,1,-2)\)
利用\(\vec{AB}=(1,2,2)\)可得\(D(9,-3,5)\)
令最高點\(E=(9+2t,-3+t,5-2t)\)
\(\overline{DE}=\sqrt{4t^2+t^2+(-2t)^2}=6\)
\(9t^2=36\)
\(t=\pm 2\)
則\(E=(13,-1,1)\)或者\(E=(5,-5,9)\)，但\(E=(13,-1,1)\)不合(長方體在桌面上)
故最高點離桌面為9
2.
一正數\(x\)的整數部分記為\(a\)(即\(a=\left[x \right]\)，\(\left[ \right]\)為高斯記號)，小數部分記為\(b\)，其中\(0\le b<1\)，則所滿足\(a^2=x \cdot b\)的正數\(x\)為[u] [/u]。
[解答]
Let \(x=a+b\)，\(a\)為整數，\(0\le b<1\)
\(a^2=x \cdot b=(a+b)\cdot b=ab+b^2\)
移項得
\(a^2-ab=b^2\)
\(a(a-b)=b^2\)
\(a=b\)或\(a=b^2\)的情況只有一種，就是\(a=b=0\)，
故\(a=1\)，\(a-b=b^2\)，
\(1-b=b^2\)，\(b^2+b-1=0\)，\(\displaystyle b=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)(負不合，因為\(0\le b<1\))
故\(\displaystyle b=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},a=1\)
\(\displaystyle x=a+b=1+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) 計算題：(題目數據沒記下來...囧)
1. 遞迴數列與不動點
2. 橢圓性質的一個證明
3. 旋轉、對稱(答案是不是有兩組？) [quote]原帖由 [i]t3712[/i] 於 2015-4-26 08:12 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=13044&ptid=2231][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算題：(題目數據沒記下來...囧)
1. 遞迴數列與不動點
2. 橢圓性質的一個證明
3. 旋轉、對稱(答案是不是有兩組？) [/quote]
1.a_n=(3a_{n-1})+5/(a_{n-1}-1), a_1=3, 求a_n一般型式
2.橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1, P為短軸端點外一點,且與短軸兩端點連線交長軸直線於Q,R兩點,證明OQ*OR為定值(O為原點)
3.圓C1(x-5)^2+(y+5)^2=4, 逆時針旋轉a角度(0<a<2pi)得圓C2, 再對y+2x=0鏡射得圓C3,求C3圓心
回復 10# g112 的帖子
想請教計算第三題所求的\(x\)坐標如何求@@ 12.
設\(a_1\)、\(a_2\)、\(a_3\)、\(\ldots\)、\(a_{104}\)為一等差數列，\(b_1\)、\(b_2\)、\(b_3\)、\(\ldots\)、\(b_{104}\)為一等比數列，若級數\(a_1+a_2+a_3+\ldots+a_{104}=2015\)，\(b_1+b_2+b_3+\ldots+b_{104}=520\)，且兩數列滿足\(a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\ldots+a_{104}b_{104}=20000\)，求\(a_1b_{104}+a_2b_{103}+a_3b_{102}+\ldots+a_{104}b_1=\)[u] [/u]。
分享第12題的解法
從二維數據分析出發
看成給定兩組資料的和，以及對應的積
且A的資料已排序
今將B的資料反序
相關係數會差個負號
最後利用r=Sxy/(SxSy)^1/2公式列兩次相除
可求所求!
(答案是對了，但觀念不知有無錯誤??)
\(m \rightarrow -m,r\rightarrow -r\)
\(\displaystyle r=\frac{\Sigma a_i b_i-n\mu_a\mu_b}{S_x S_y}\)...(1)
\(\displaystyle -r=\frac{\Sigma a_i b_{105-i}-n\mu_a \mu_b}{S_x S_y}\)...(2)
\(\displaystyle \frac{(1)}{(2)}\)：\(-1=\frac{\Sigma a_ib_i-n\mu_a\mu_b}{\Sigma a_i b_{105-i}-n\mu_a\mu_b}\)
\(\Sigma a_i b_{105-i}=2n\mu_a \mu_b-\Sigma a_i b_i\)
\(\displaystyle =2\times 104\times \frac{2015}{104}\times \frac{520}{104}-20000\)
\(=150\) 詳解出的比我還快， 難怪你會勝利！看來我該讓賢了。
不過有點小問題想問一下
9.
已知\((5x+2y)^{425}+x^{425}+6x+2y=0\)，則\(9x^2+6xy+y^2+12x+4y+5=\)[u] [/u]。
Q9 沒有限定x,y為實數，如果是複數是不是有可能有其餘解？
11.
有某些6位數，其個位數、十位數、百位數、千位數、萬位數、十萬位數依序為\(a,b,c,d,e,f\)，若要求\(a\le b<c\le d<e\le f\)，則滿足此條件的6位數共有[u] [/u]個。
Q11 十萬位數f在選擇的時候應該不能為0，所以每個H都要再扣1，雖然不影響最後答案.....
回復 14# jackyxul4 的帖子
的確，第9題的題目如果有補上" \(x,y\) 為非零實數" 就會更適切一點了。 7.長方體\(ABCD-A_1B_1C_1D_1\)中，外接球的球心為\(O\)，外接球的體積為\(\displaystyle \frac{32\pi}{3}\)。設\(\overline{AB}=a\)，\(\overline{BC}=b\)，\(\overline{CC_1}=c\)，若\(\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}\)的最小值為\(\displaystyle \frac{9}{4}\)，則\(A\)、\(C\)兩點的球面距離為[u] [/u]。
想問一下第7題
題目只有說若\(\displaystyle \frac{1}{a^2}+\frac{4}{b^2}\)有最小值\(\displaystyle \frac{9}{4}\)也不能夠保證\(a^2+b^2=4\)不是嗎
因為用柯西只能算出\(a^2+b^2\)大於或等於4
更何況題目也沒有說"當最小值產生時 這兩點的距離的最小值為多少"
就算題目說在最小值好了
我讓a=2,b=(2)^(1/2) 這樣1/a^2+4/b^2=9/4 但是A,C算出來的距離就不會是答案給的
不知道我這樣的說法哪裡有錯? 可是他不是說用柯西球出的最小值阿
也有可能用柯西求出其他最小值，只是柯西等號成立時的最小值是不存在的
所以最小值是題目給的那個
回復 16# tim 的帖子
的確，這樣並沒有辦法確定 a^2+b^2 是多少，因為題目並沒有說 a^2+b^2 是定值。
例如:如果已知 4a^2+(b^2)/4=4，
一樣可用柯西不等式配出1/a^2+4/b^2有最小值9/4
題目只說1/a^2+4/b^2有最小值9/4，條件太含糊，
事實上a^2+b^2<(2R)^2=16，
因此1/a^2+4/b^2只能得到範圍:大於9/16，
除非另外限定條件，才能說它有最小值。
題目又出錯了!!
今年到底有多少間題目出錯啊?
會不會太多了點...
填充第6題的解法參考
填充第6題的解法參考回復 14# jackyxul4 的帖子
信哥還有各位老師好想請教第9題
該如何確定t+x=0 必然成立?
還是說 因為t+x=0 是其中一組解 那麼 就可以拿來討論代換?
如果(t^424 -t^423x + t^422x^2 -⋯+)是0 那該怎麼討論?
若題目 限定x,y為實數 則 可以得到 t+x=0 的結果嗎?
若題目說x,y是非零複數，那麼答案真的還有其他可能的解嗎?
信哥可別說讓賢~，我還在黑暗時打野豬呢.......
文華高中第12題
文華高中第12題\(\displaystyle a_1+a_{104}=a_2+a_{103}=a_3+a_{102}=\ldots=a_{52}+a_{53}=\frac{2015}{52}\)
\((a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3+\ldots+a_{104}b_{104})+(a_1b_{104}+a_2b_{103}+a_3b_{102}+\ldots+a_{104}b_1)\)
\(=(a_1+a_{104})b_1+(a_2+a_{103})b_2+(a_3+a_{102})b_3+\ldots+(a_{104}+a_1)b_{104}\)
\(\displaystyle =\frac{2015}{52}(b_1+b_2+b_3+\ldots+b_{104})\)
\(\displaystyle =\frac{2015}{52}\times 520\)
\(=20150\)
故所求\(a_1b_{104}+a_2b_{103}+a_3b_{102}+\ldots+a_{104}b_1=150\)
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