104新竹女中
只記得這三題 請問這三題該如何動筆呢第一題
7 8 9 10 14 這五個數 任取兩數相乘的總和+任取三數的總和+任取四數的總和=???
請問這題要硬做嗎? 還是有更快的做法呢?
證明第一題
假設O為原點 P,Q為直角坐標系兩點 假設有一T為2by2的線性轉換
使得P跑到P' Q跑到Q'
請證明(一)OP:OP'=OQ:OQ' (二)角POP'=角QOQ'
證明第二題(記憶力有點差 如果哪邊有記錯請指證)
假設一線段AB中間任取一點C
以AC,CB為邊作正三角形
(一)證明AEFC為還是圓內接四邊形
(二)證明DE(還是其他邊?)為圓AEFC的切線
回復 1# Callmeluluz 的帖子
第一題有\(7,8,9,10,14\)五個數，設\(s_2\)表任二數乘積的總和，設\(s_3\)表任三數乘積的總和，設\(s_4\)表任四數乘積的總和，則\(s_2+s_3+s_4\)之值為[u] [/u]。
[提示]
這題也考過類似的。
考慮 \( (x+7)(x+8)(x+9)(x+10)(x+14) \) 展開的各項係數和
以 \( x=1 \) 代入再扣除我們不要的項 (5次項、4次項、常數項)
證明一，應該有漏條件，否則反例如下
\( T(x,y)=(2x,y) \), \( P(1,0) \), \( Q(0,1) \)
則 \( \overline{OP}:\overline{OP'}=1:2 \), \( \overline{OQ}:\overline{OQ'}=1:1 \)
若同樣的 T，改取 \( P(1,0) \), \( Q(1,1) \)，則 \( \angle POP' = 0^\circ \neq \angle QOQ' \)
證明二，以 Geogebra 畫圖觀察，圖上所畫直線僅有 \( \overleftrightarrow{CD} \) 與圓 AEFC 相切
回復 2# tsusy 的帖子
應該是我題目有誤 抱歉只好等題目出來了
我剛剛又想到一題了
三角形ABC，以BC為直徑做圓，AB交圓於D，AC交圓於E，假設三角形AED面積為1，四邊形DECB面積為t，求cos角BAC
第10題
銳角\( \Delta ABC \)中，設\(∠ A=\theta\)，若以\( \overline{BC} \)為直徑作圓，此圓交\(\overline{AB}\)於\(P\)點，交\( \overline{AC} \)於\(Q\)點，若四邊形\(PBCQ\)的面積是\(\Delta APQ\)的面積\(t\)倍，則\(cos \theta=\)[u] [/u]。 [quote]三角形ABC
以BC為直徑做圓
AB交圓於D
AC交圓於E
假設三角形AED面積為1
四邊形DECB面積為t
求cos角BAC[/quote]
\(\begin{align}
& AD\times AB=AE\times AC \\
& \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB} \\
& \frac{\Delta ADE}{\Delta ABC}=\frac{AD\times AE}{AB\times AC}=\frac{1}{t+1} \\
& {{\left( \frac{AD}{AC} \right)}^{2}}=\frac{1}{t+1} \\
& \cos \angle BAC=\frac{AD}{AC}=\sqrt{\frac{1}{t+1}} \\
\end{align}\) 證明第二題：
(1+i)^n=An+iBn，An,Bn為實數，若矩陣[An+1 Bn+1]=T[An Bn]，T矩陣為線性映射，
若O為原點，P.Q為座標上異於O的相異兩點，P'、Q'為P、Q做線性映射T矩陣後的兩點，
證明(一)OP:OP'=OQ:OQ' (二)角POP'=角QOQ'
我個人是先求出(An+1 ,Bn+1)=(An-Bn,An+Bn)
之後另P、Q、P'、Q'點座標，
暴力算出他們邊長的比值都根號2，因此可得出兩小題的結論
回復 5# rueichi 的帖子
證明二：題目如果是這樣就沒問題了證明的方向也正確，但有一瑕疵：T 的對應關係，已知的條件僅有對 \( (A_n, B_n) \) 這樣形式的點，而非平面上任意一點
也就是說令了點 P 坐標之後，不能直接套用 \( (A_n, B_n) \) 的映射去得到 \( P' \) 的坐標
而需要利用線性映射的性質把 \( A_{n+1} = A_n -B_n, B_{n+1} = A_n +B_n \) 的關係式推廣成 \( T: (x,y) \mapsto (x-y,x+y) \)
才能代入 \( P, Q \)，而得到 \( P', Q' \) 之坐標
證明2
證明第二題似乎是去年指考考題，題目一模一樣，只是把指考的1.2小題拿掉 1.有7,8,9,10,14五個數，設\( s_2 \)表任二數乘積的總和，設\( s_3 \)表任三數乘積的總和，設\( s_4 \)表任四數乘積的總和，則\( s_2+s_3+s_4 \)之值為[u] [/u]。
\( P_k \)表\( 1,2,3,\ldots,n \)中任取\( k \)個數乘積的和，求\( 1+P_1+P_2+\ldots+P_n \)。
(104桃園高中，[url]https://math.pro/db/thread-2238-1-1.html[/url])
將十次多項式\( (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6)(x+7)(x+6)(x+9)(x+10) \)展開後得\( x^{10}+55x^{9}+a_8x^8+a_7x^7+\ldots+10! \)，若\( a_8=55M \)，\( a_7=55^2N \)，其中\( M,N \)為正整數，求\( (M,N)= \)？
(101文華高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1333&page=8#pid5478[/url])
13.
多項式\( (1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2 \)展開式中，\( x^{24} \)項的係數為[u] [/u]。
14.
設\( x,y,z,w \)均為實數，且滿足\( x+y+z+w=8 \)及\( x^2+2y^2+3z^2+6w^2=50 \)。若\( x \)的最大值為\( M \)，最小值為\( m \)，則數對\( (M,m)= \)[u] [/u]。
13
多項式\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2\)展開式中，\(x^{24}\)項的係數為[u] [/u]。[解答]
有點醜的做法，參考看看。
令\(\displaystyle a=1+x+x^2+\ldots+x^{12}=\frac{1-x^{13}}{1-x}\)，則原式\(=(a+ax^{13})a^2=a^3+a^3x^{13}\)，
即求\(a^3\)中\(x^{24}\)的係數與\(a^3\)中\(x^{11}\)的係數和
\(\displaystyle a^3=\Bigg(\; \frac{1-x^{13}}{1-x} \Bigg)\;^3=(1-x^{13})^3(1-x)^{-3} \)
\(\displaystyle =(1-3x^{13}+3x^{26}-x^{39})\Bigg[\; 1+(-3)(-x)+\frac{(-3)(-4)}{2!}(-x)^2+\ldots+\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-x)^{11}+\ldots+\frac{(-3)(-4)\ldots(-26)}{24!}(-x)^{24}+\ldots \Bigg]\;\)
所求即為
\( \displaystyle \frac{(-3)(-4)\ldots(-26)}{24!}(-1)^{24}+(-3)\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-1)^{11}+\frac{(-3)(-4)\ldots(-13)}{11!}(-1)^{11}=325+(-234)+78=169 \) 第13題
多項式\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+\ldots+x^{12})^2\)展開式中，\(x^{24}\)項的係數為[u] [/u]。
[提示]
可以看成是重複組合的題目吧
\(X_1+X_2+X_3=25\)，\(0 \le X_1 \le 25\)，\(0 \le X_2,X_3 \le12\)
想請問一下15,16,17題要怎麼下手
另外18題我想請教一下我的想法對不對
先從題目的式子算出\(f(x)=x^3+ax^2-x\)，3個根分別為\(0,x_1, x_2\)
因為要求面積最小值,所以\(x_1\)和\(x_2\)的絕對值要越小越好
因此當\(a=0\)時，可以得到面積最小值
回復 8# bugmens 的帖子
分享13題的一個想法\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})(1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{12})^2 \)求\(x^{24}\)項的係數
[解答]
其中\((1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{12})^2 \)展開後是一個24次的多項式 裡面任一項
皆可在\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})\)中恰找到一項 使其展開後冪次為\(x^{24}\)又\((1+x+x^2+\ldots+x^{25})\)中每項係數皆為1
故\(x^{24}\)之係數被\((1+x+x^2+x^3+\ldots+x^{12})^2\)展開後的係數所決定
因此\( x=1\)代入\((1+x+x^2+x^3+\ldots+x^12)^2\)得\(13^2=169\) 想請教#4:算得 |1/1+2p|<1 似乎少考慮了甚麼
#6
#7
#11
#12(用取捨原理算300 不知哪裡少算)
#15
#16
#17
#18
抱歉..有點多不知怎下手...先謝謝願意分享思路的老師們了! [quote]原帖由 [i]瓜農自足[/i] 於 2015-4-21 04:03 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=12981&ptid=2219][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教#4:算得 |1/1+2p| [/quote]
第4題:
設\(tan \alpha\),\( tan \beta \)為方程式\(x^2+(2p-1)x+4p^2=0\)之二根，若\( \displaystyle \lim_{n \to \infty}\sum_{k=0}^{n}tan^k(\alpha+\beta) \)之值存在，則\(p\)之範圍為[u] [/u]。
[提示]
還有方程式的判別式可以用
第6題:
圓心在\(y\)軸上，且與雙曲線\(\displaystyle x^2-\frac{y^2}{4}=1\)及直線\(y=4\)均相切的圓之半徑為[u] [/u]。
[提示]
圓心假設\((0,b)\),圓方程式\(x^2+(y-b)^=(4-b)^2\)帶到雙曲線得到\(y\)的一個方程式
然後因為圓和雙曲線會有兩個切點(而且是對\(y\)軸對稱),所以切點\(y\)座標只有一個,所以把上述算出來的\(y\)的方程式用判別式\(=0\)解\(b\)
第7題:
設\(2a+2b+2c+2d=11\)，\(2(a+b)(c+d)=5\)，則\(log(a+b)^2 log(c^2-d^2)-log(a+b)log(c-d)^2\)之值為[u] [/u]。
(計算至小數第四位，第五位以下無條件捨去，\(log2=0.301,log3=0.4771\))
[提示]
所求化簡一下可以得到\(2log(a+b)log(c+d)\)
假設\(A=a+b, B=c+d\),用題目給的條件解出\(A,B\)
11題:
滿足\(x+y+z+w=xyzw\)的正整數\(x,y,z,w\)解有[u] [/u]組。
[提示]
考古題,把題目一字不漏的丟到google一下就找到了
18題:
設實係數多項式\(f(x)\)滿足\(\displaystyle x^2 f(x)=\frac{3}{5}x^5+\frac{1}{2}ax^4-\frac{1}{3}x^3+2 \int_0^x t f(t)dt\)，\(f(0)=0\)，若曲線\(y=f(x)\)與\(x\)軸所圍成的區域面積記為\(S(a)\)，則\(S(a)\)之最小值為[u] [/u]。
[提示]
上一頁有我的想法可以看一下
回復 12# 瓜農自足 的帖子
第 12 題將\(AAABBCCD\)共八個字母排成一列，同字母不相鄰的排列方法有[u] [/u]種。
去年台中女中考過，這題只是把 2 個 a、3 個 b，改成 3 個 a、2 個 b 而已
[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=3290&start=10#p11646[/url]
回復 10# g112 的帖子
15 題設\(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)，若\(f(x)\)之極大值為\(A\)，\(f(x)\)之極小值為\(B\)，且\(f(x)\)的一階導函數\(f'(x)\)之最小值為\(C\)，則\(A-B+C\)之最小值為[u] [/u]。
[解答]
透過平移(左右移，不改變 A, B, C)，不失一般性可假設 \( f(x) = x^3 + dx + e \)
則 \( f'(x) = 3x^2 +d \)，因函數 \( f \) 有極大、極小值，故 \( d<0 \)，不妨令 \( d = -3t^2 \)，其中 \( t>0 \)
則 \( A = f(-t), B = f(t), C = -3t^2 \), \( A-B+C = 4t^3 - 3t^2 \)
透過微分計算，可知 \( A - B +C \) 在 \( t = \frac12 \) 時有最小值 \( -\frac14 \)。
16 題
正數\(x,y\)滿足\(ax+by \le 1\)，其中\((log a)^2+2log b=1\)，若\(xy\)之最大值為\(M\)，則\(M\)之最小值為[u] [/u]。
[解答]
首先先搞清題意，\( xy \) 的最大值為 \( M \)，這句的意思是說
「固定一組 \( (a,b) \)，在 \( x,y \) 為正數且滿足 \( ax+by\leq 1 \) 的情況下，所得到的 \( xy \) 最大值，即為 \( M = M(a,b) \)」
由算幾不等式有 \( \frac 12 \geq \frac{ax+by}{2} \geq \sqrt{axby} \Rightarrow xy \leq \frac1{4ab} \)
其等號在 \( x= \frac1{2a}, y =\frac1{2b} \) 時成立，故 \( M(a,b) = \frac1{4ab} \)
而 \( a,b \) 的限制條件為 \( (\log a)^2 + 2 \log b =1 \)
故取 \( \log M(a,b) = -\log 4 -\log a - \log b \) ( a,b 為限制條件中的真數必為正，故 M 亦正)
令 \( A = \log a \)，以 \( \log b = \frac{1-A^2}{2} \) 代入 \( \log M(a,b) \) 得 \( \log M(a,b) = - \log 4 - A - \frac{1-A^2}{2} \)
配方可得 \( A = 1 \) 時 \( \log M(a,b) \)，此時 \( M(a,b) \) 亦達有最小值 \( \frac1{40} \)
回復 15# tsusy 的帖子
15題平移的方法太漂亮了，請容許我寫進詳解裡回復 16# jackyxul4 的帖子
不好意思信哥想跟您請教一下第13題
\((1+x+...+x^{25})(1+x+...+x^{12})^2\)中展開後\(x^{24}\)的係數
可以考慮成\(a+b+c=24 \)的非負數整數解\(a=0\sim 25,b=0\sim 12,c=0\sim 12\)
這部分都可以理解
但是\(H(3,25)-2H(3,12)\)這就不太懂了 請幫指點迷津 感恩!!
回復 17# Callmeluluz 的帖子
喔，就只是單純的打錯了0.0應該是三個數字加起來為24，減掉\(b\ge 13\)或\(c \ge 13\)的結果
\( H(3,24)-2H(3,11) \)
回復 18# jackyxul4 的帖子
原來如此因為我用\(H(3,25)-2H(3,12)\)去算答案也是169所以才問的
感謝信哥！
請問
請問以下這一題：一副 52 張的撲克牌, 點數有\( A,2,3,...,K \)各 4 張, 經隨機洗牌後, 求前二張有\( A \)或最後一張是\( A \)點的機率為?
我的作法是
\( \displaystyle \frac{C(4,2)\cdot 2!\cdot 50!+C(4,1)\cdot 51!-C(4,2)\cdot 2!\cdot C(2,1)\cdot 49!}{52!}\),
可以麻煩老師幫我指正嗎?
頁:
[1]
2