Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » 104建國中學

jeanvictor 發表於 2015-4-16 01:31

104建國中學

A從編號1~50選8個號碼，B一次取一球，取後不放回，令X=B抽到A所選的八號所需的球數，求E(x)    thx

thepiano 發表於 2015-4-16 08:24

回復 1# jeanvictor 的帖子

假設 A 依次取到 1、2、3、4、5、6、7、8 號球
8 號球先擺，其左右兩邊平均可擺 7/2 = 3.5 個球
所求為 3.5 + 1 = 4.5 個

jeanvictor 發表於 2015-4-16 12:58

回復 2# thepiano 的帖子

piano老師，不太能理解耶。為什麼B取的球數可以這樣平均

thepiano 發表於 2015-4-16 13:11

回復 3# jeanvictor 的帖子

參考站長大的說明
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1441&page=2#pid7215[/url]

其實硬做也會得到相同的答案

insel 發表於 2015-4-16 16:18

請教一題 請各位高手幫忙

a^2+3b  與  b^2+3a   為完全平方數   且   a  b  為正整數    求a+b的最大值??

thepiano 發表於 2015-4-16 17:10

回復 1# insel 的帖子

令\(\begin{align}
  & {{a}^{2}}+3b={{m}^{2}} \\
& {{b}^{2}}+3a={{n}^{2}} \\
\end{align}\)
不失一般性，設\(a\ge b\)
\(\begin{align}
  & {{\left( a+2 \right)}^{2}}>{{a}^{2}}+3b={{m}^{2}} \\
& m=a+1 \\
& {{a}^{2}}+3b={{\left( a+1 \right)}^{2}} \\
& a=\frac{3b-1}{2} \\
& {{b}^{2}}+3\times \frac{3b-1}{2}={{n}^{2}} \\
& {{b}^{2}}+\frac{9}{2}b-\frac{3}{2}={{n}^{2}} \\
& {{\left( b+3 \right)}^{2}}>{{b}^{2}}+\frac{9}{2}b-\frac{3}{2}={{n}^{2}} \\
& n=b+1\ or\ b+2 \\
&  \\
& {{b}^{2}}+\frac{9}{2}b-\frac{3}{2}={{\left( b+1 \right)}^{2}} \\
& b=1,a=1 \\
&  \\
& {{b}^{2}}+\frac{9}{2}b-\frac{3}{2}={{\left( b+2 \right)}^{2}} \\
& b=11,a=16 \\
\end{align}\)

所求為27

thepiano 發表於 2015-4-17 20:05

[color=Blue]原考題是 8 個球都要取到，不是只取出第 8 個...[/color]

第 8 題
把甲生所選的 8 個球排成一列，會有 9 個空隙
再把剩下的 42 個球平均分配到這 9 個空隙，每個空隙是 42/9 個球
(42/9)_1_(42/9)_1_(42/9)_1_(42/9)_1_(42/9)_1_(42/9)_1_(42/9)_1(42/9)_1_(42/9)
莊家要把甲生所選的 8 個號碼全都抽出來的期望球數 = (42/9 + 1) * 8 = 136/3

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2015-4-17 08:06 PM 編輯 [/i]]

jeanvictor 發表於 2015-4-17 22:42

回復 7# thepiano 的帖子

感謝 piano師解答!

jackyxul4 發表於 2015-4-19 00:26

今天趕了兩場考試，所以詳解姍姍來遲了

thepiano 發表於 2015-4-19 07:29

回復 9# jackyxul4 的帖子

填充第1題
可以用旋轉來解題……
\(\cos \angle DAE=\frac{13}{14}\)
固定A點，將AB逆時針旋轉60度，讓AB和AC重合，設D點旋轉到F點
易知AECF是箏形，設AC和EF交於G
\(\begin{align}
  & \cos \angle EAF=\cos \left( \frac{\pi }{3}-\angle DAE \right)=\frac{11}{14} \\
& EF=2\sqrt{3},EG=\sqrt{3},AG=5,CG=\sqrt{13} \\
& AC=5+\sqrt{13} \\
\end{align}\)

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2015-4-19 07:31 AM 編輯 [/i]]

艾瑞卡 發表於 2015-4-19 08:20

回復 9# jackyxul4 的帖子

謝謝信哥老師製作的解答!!

jackyxul4 發表於 2015-4-19 12:18

回復 10# thepiano 的帖子

果然高手，我在考場看到以為是正三角形內部一點的推廣，用轉的轉老半天出不來= =

cally0119 發表於 2015-4-19 17:58

可以請教一下原本鋼琴老師解答的取球問題,若要求只取到第8號求的取球數,不用加上其他沒取到的球數插入間隙的平均球數嗎?

thepiano 發表於 2015-4-19 18:49

您的意思是下面這樣嗎？
甲生先從 1、2、3、......、50 這 50 個號碼球中依次選出 8 個不同的號碼球，並把甲生選的 8 個號碼球裝入袋中，
莊家從袋中每次任取一球，取後不放回，則莊家抽出甲生所選的第 8 個號碼球時，莊家抽出號碼球個數的期望值為何？

若是的話
假設甲生依次取到 1、2、3、4、5、6、7、8 號球
8 號球先擺，其左右兩邊平均可擺 7/2 = 3.5 個球
所求為 3.5 + 1 = 4.5 個

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