等腰三角與共線
[img]http://140.112.17.195/attachments/forumid_8/15040720181905413289833566.jpg[/img][color=#444444][font=Verdana, Helvetica, Arial, sans-serif][size=16px]ㄥFAB=ㄥFBA=ㄥEAC=ㄥECA=a, [/size][/font][/color]
[color=#444444][font=Verdana, Helvetica, Arial, sans-serif][size=16px]ㄥXEF=XFE=b, ㄥTBC=ㄥTCB=a+b[/size][/font][/color]
[color=#444444][font=Verdana, Helvetica, Arial, sans-serif][size=16px]證明: A, X, T 共線[/size][/font][/color]
這題想很久了...希望各位老師幫我忙，感激不盡!!! 有老師知道什麼是幾何轉換中的:位似、旋似嗎? [size=3]雖然想不出樓主所期待的純幾何解法，姑且提出冗長的拙見以拋磚引玉，若有錯誤敬請指正。[/size]
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[size=3]明顯地，若 X 與 A 重合，命題成立。以下只考慮 X 與 A 相異的情形。[/size]
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[size=3]構想: 把圖形放在極坐標(複數坐標)上。以 A 為原點，表出 X 與 T 的(複數)值。若能證明: T/X 是實數，則 [font=Verdana][color=#444444]A, X, T 共線 (充要條件)。[/color][/font][/size]
[font=Verdana][size=3][color=#444444][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#444444]先複習複數乘除法: Z[size=2]2[/size] = Z[size=1]1[/size]*(|Z[size=2]2[/size]|/|Z[size=1]1[/size]|)*(cosθ + i sinθ)，θ 是輻角差。理解為: Z[size=1]1 [/size]經過伸縮 |Z[size=2]2[/size]|/|Z[size=1]1[/size]|，再旋轉 θ，到達 Z[size=2]2[/size] 的位置。[/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#444444][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#444444]現在把[color=#000000]圖形放在複數坐標上，圖形各點各自代表一複數(以"="表示)。不失一般性，令 A=0，B=2，C=2Z。 [/color][/color][/size][/font]
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[font=Verdana][size=3]再令 Z[size=2]a[/size] = [color=#444444]cos a + i sin a，[color=#000000] Z[size=2]b[/size][/color][color=#000000] = [/color][color=#444444]cos b + i sin b，1/[color=#000000]Z[/color][size=2][color=#000000]a[/color][/size][color=#000000] = [/color][color=#444444]cos a - i sin a[/color] ，[color=#000000]Z[/color][size=2][color=#000000]a[/color][/size][color=#000000]*[/color][color=#444444][color=#000000]Z[size=2]b[/size][/color][color=#000000] = [/color][color=#444444]cos(a+b) + i sin(a+b)[/color][/color]。[/color][/color][/size][/font]
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[font=Verdana][size=3][color=#444444]則 [/color][/size][/font]
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[font=Verdana][size=3][color=#444444][color=red]T = 2 + (Z-1)*sec(a+b)*Z[size=2]a[/size]*Z[size=2]b[/size][/color][color=#444444][color=#000000] [/color][/color](先平移原點至 B，由 BC 中點出發，得到 T 的位置，再移回原點至 A; 以下其它點的取值法類似。)[/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#444444][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#444444]F = (sec a) / [color=#000000]Z[/color][size=2][color=#000000]a[/color][/size][color=#000000] (順時針)[/color][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][/size][/font]
[font=Verdana][size=3]E = Z*([color=#444444]sec a)*[color=#000000]Z[/color][size=2][color=#000000]a[/color][/size][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#444444][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=red]X = (sec a) / Z[size=2]a[/size] + (1/2)*[ Z*Z[size=2]a[/size] - 1/Z[size=2]a[/size] ]*(sec a)*(sec b)*Z[size=2]b[/size][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#444444][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#444444]以下想證明 [color=#000000]T/X 是實數。由於 Z 的任意性，猜想這個實數就是 Z 的係數比值: sec(a+b) / [(1/2)*(sec a)*(sec b)]。[/color][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#444444][color=#000000][/color][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#444444][color=#000000]基於這個觀察，為了簡化計算，分別自 T 與 X 中提出實數 sec(a+b) 與 (1/2)*(sec a)*(sec b):[/color][/color][/size][/font]
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[font=Verdana][size=3][color=#ff0000]T' = 2cos(a+b) + (Z-1)*Z[/color][size=2][color=#ff0000]a[/color][/size][color=#ff0000]*Z[/color][size=2][color=#ff0000]b[/color][/size][color=#000000][color=#444444] [/color][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#000000][color=#444444][/color][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#000000][color=#444444][color=#ff0000]X' = 2(cos b) / Z[/color][size=2][color=#ff0000]a[/color][/size][color=#ff0000] + (Z*Z[/color][size=2][color=#ff0000]a[/color][/size][color=#ff0000] - 1/Z[/color][size=2][color=#ff0000]a[/color][/size][color=#ff0000])*Z[size=2]b[/size][/color][/color][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=#ff0000][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][color=black]以下只要證明 T' = X' 就大功告成了。[/color][/size][/font]
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[font=Verdana][size=3]由於 T' 與 X' 含有"Z"的項係數相等，所以只要比較不含"Z"的部分。[/size][/font]
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[font=Verdana][size=3][color=#444444][註: Z[size=2]a[/size] = cos a + i sin a，[color=#000000] Z[size=2]b[/size][/color][color=#000000] = [/color][color=#444444]cos b + i sin b，1/[color=#000000]Z[/color][size=2][color=#000000]a[/color][/size][color=#000000] = [/color][color=#444444]cos a - i sin a，[/color] [color=#000000]Z[/color][size=2][color=#000000]a[/color][/size][color=#000000]*[/color][color=#444444][color=#000000]Z[size=2]b[/size][/color][color=#000000] = [/color][color=#444444]cos(a+b) + i sin(a+b)][/color][/color][/color][/color][/size][/font]
[font=Verdana][size=3][/size][/font]
[font=Verdana][size=3]實部 (T' 不含 Z 項) = cos(a+b) = (cos a)*(cos b) - (sin a)*(sin b) = 實部 (X' 不含 Z 項) [/size][/font]
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[font=Verdana][size=3]虛部 (T' 不含 Z 項) = -(sin a)*(cos b) - (cos a)*(sin b) = 虛[/size][/font][font=Verdana][size=3]部 (X' 不含 Z 項) [/size][/font]
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[font=Verdana][size=3]證畢。[/size][/font]
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[font=Verdana][size=3][color=#000000][color=#444444][size=2][color=#ff0000][/color][/size][/color][/color][/size][/font] 冗長的拙見真是太神拉!!!
謝謝cefepime老師!! 純幾做法:
做點G與點H使:角GAB=角GBA=角HAC=角HCA=A+B，易知AGTH為平行四邊形。
在GA、HA上分別做I、J，使角IFA=角IAF=角IAE=角IEA=B，同理AIJX為平行四邊形。
且因AI:AJ=AB:AC=AG:AH，因此AGTH、AIJX為位似圖形，且位似中心為A
因此AXT三點共線。 [size=3]謝謝樓主提供這個精彩的(也超越我背景知識的)解法![/size]
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[size=3]提供個關於"三點共線的常用證明方法"連結與樓主分享。[/size]
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[url=http://baike.baidu.com/view/1042024.htm][size=3]http://baike.baidu.com/view/1042024.htm[/size][/url]
[size=3](可再加上: 線段長 AB + BC = AC，笛沙格定理，與上述的複數坐標三法)[/size]
[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2015-5-1 12:41 AM 編輯 [/i]]
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