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不是井裡沒有水,而是我們挖的不夠深;
不是成功來的慢,而是我們放棄的太快。

Superman 發表於 2015-4-6 12:54

Apostol 數學分析 習題 9.23


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Let an be a decreasing sequence of positive terms. Prove that the series ∑ansinnx converges uniformly on R if, and only if, nan→0 as n→∞

,我一直認為if direction有問題,網路上看到的證明也覺得沒證出來。

tsusy 發表於 2015-4-9 00:11

回復 1# Superman 的帖子

if 那端基本上就是 Abel's test (summation by parts 那招)加上 \( \displaystyle \sum_{k=1}^{n} \sin kx = \frac{\sin \frac{nx}2 \sin \frac{n+1}2x}{\sin \frac x2} = O(n) \), for \( x\neq 0\)

小心的估出那個 Big O 和 x 無關就好

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