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翁丞甫 發表於 2015-4-2 13:10

求數學好手

是否存在整數\( a,b \)使得\( a^5b+3 \)與\( ab^5+3 \)皆為完全立方數。

tsusy 發表於 2015-4-2 18:51

回復 1# 翁丞甫 的帖子

這是中山大學的[color=Red]雙週一題網路數學問題徵答[/color]，104.04.03 中午 12 點截止

要討論的等明天中午過後吧

thepiano 發表於 2015-4-3 17:18

回復 1# 翁丞甫 的帖子

官方已公布參考解答
[url]http://www.math.nsysu.edu.tw/~problem/2015s/2ans.pdf[/url]

其實小弟昨天也寫了個解答，要貼時剛好看到 寸絲 兄的提醒
今天看了官方的解答，比小弟寫的簡潔，所以就不獻醜了

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2015-4-3 05:24 PM 編輯 [/i]]

bch0722b 發表於 2015-4-4 10:54

為啥是mod9，有人可以說明嗎?(同餘好神!!)

cefepime 發表於 2015-4-4 22:45

[size=3]個人淺見如下:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]基於經驗，這類題目常用同餘分析法解題，關鍵是"模"的選取。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]首先計畫以某正整數為模，將所有整數分類，並依此分類考察完全立方數對於某個"模"(不一定是前述分類用的模)的餘數情形。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]由於 ( a + b )³ 的展開式係數依序是 (1,3,3,1)，配合這個係數，自然想到用 "3" 來將整數分類，以得出較有用(較強)的結果:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]先將整數分類為 3k, 3k ± 1，將之立方:[/size]
[size=3][/size]
[size=3](3k)³ = 3³k³[/size]
[size=3][/size]
[size=3](3k ± 1)³ = (3³k³ ± 3³k² + 3²k ± 1)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]綜合以上兩式知，完全立方數除以 [color=red]9[/color] 的餘數只能是 0, 1, -1。當然也能說完全立方數除以 3 的餘數只能是 0, 1, -1，但原則上用較強的結論對往後的推理較佳 (以 9 為模是本分類的最強結論)。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]注意到以上之所以得到比"以3為模"更強的結果是因考察了(1,3,3,1) 這個係數。作為對比，如果以 2 為模的話:[/size]
[size=3][/size]
[size=3](2k)³ = 2³k³[/size]
[size=3][/size]
[size=3](2k + 1)³ = (2³k³ + 3*2²k² + 3*2k + 1)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]由於 "2" 跟係數不配合，似乎就得不到有用的結果了。[/size]

[size=3][/size]
[size=3]然而在以下題目則不然:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]試證數列 11, 111, 1111, ..., 中的每一個數都不是完全平方數(中山雙週91學年度第一學期第二題)。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]由於 ( a + b )² 的展開式係數依序是 (1,2,1)，配合這個係數，用 "2" 來將整數分類就很適當了。[/size]

[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2015-4-4 11:02 PM 編輯 [/i]]

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