關於數學歸納法最後一步
各位先進，想請問一下這樣子的邏輯是對的還是錯的在做數學歸納法的證明的時候，我們會假設P(k)成立，最後推得P(k+1)成立
也就是將P(k+1)做計算跟化簡成k+1代時的式子
我們是以p->q的方式去想
例如：1+2+3+...+n=n(n+1)/2
那在最後一步我們通常都會用 假設1+2+...+k=k(k+1)/2成立
最後 將 "1+2+3+...+k+(k+1)" 計算到 "(k+1)(k+1+1)/2" 這樣子推論就算正確
如果~~
將左式拆開，也將最後的推論也就是右式也拆開
這樣子左式=右式，推論成立
這樣子的邏輯是錯的嗎??
回復 1# zidanesquall 的帖子
對不對要看您有沒有用到 1+2+...+k=k(k+1)/2 這個假設回復 2# thepiano 的帖子
1+2+...+k=k(k+1)/2，我已經假設成立了我要往下推論當n=k+1的時候
以正常的計算跟推論
1+2+...+k+(k+1)=.....=(k+1)(k+1+1)/2
所以原式成立
若我只是將兩式展開
左=1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+k(k+1) 全部展開
右=(k+1)(k+1+1)/2 全部展開
我說兩個式相等，所以推論成立
這樣子是否有誤?
[[i] 本帖最後由 zidanesquall 於 2015-4-2 12:54 PM 編輯 [/i]]
回復 3# zidanesquall 的帖子
應是 左=1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)由於在上式已用了您假設的條件，所以小弟覺得兩個展開比較的方法是對的，只是寫法不好！
回復 4# thepiano 的帖子
謝謝鋼琴大因為剛好這次段考有學生這麼寫，有老師提出質疑覺得這樣子的邏輯思考是錯誤的
他覺得應該是 1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=...=(k+1)(k+1+1)/2
不能像我說的第二個狀況
左=1+2+...+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)
右=(k+1)(k+1+1)/2
再將兩個都展開，說左式跟右式相等，就說由數學歸納法，原命題成立
我們在做數學歸納法，本來就會假設P(k)這個命題成立
最後利用這個假設成立推論到P(k+1)這個命題成立
那這兩種說明方式應該都是成立的才對
因為這個是可以計算，所以可以等號等過去，那左=右應該也是可以的
我的想法是這樣子
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