請教兩題三角函數
1.在\(\Delta ABC\)中，試求\(\displaystyle \frac{\sqrt{tan \frac{B}{2}tan \frac{C}{2}}}{cos \frac{A}{2}}+\frac{\sqrt{tan \frac{C}{2}tan \frac{A}{2}}}{cos \frac{B}{2}}+\frac{\sqrt{tan \frac{A}{2}tan \frac{B}{2}}}{cos \frac{C}{2}}\)的最大值為？
ANS:2
2.
\(P\)為\(\Delta ABC\)內部一點，且\(\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA=15^{\circ}\)，求\(\displaystyle \frac{1}{sin^2A}+\frac{1}{sin^2B}+\frac{1}{sin^2C}=\)？
ANS:\(8+4\sqrt{3}\)
題目如附檔，請大家幫忙解答或給個hint，謝謝
回復 1# qaz 的帖子
第 9 & 13 題[url]http://www.shiner.idv.tw/teachers/viewtopic.php?f=53&t=2904[/url] piano老師的觀察太敏銳了!!!
第9題，易知出來的東西根本詭異!!
能請教老師是怎麼看出來的嗎?? (三角恆等式多到數不完...
回復 3# bch0722b 的帖子
\(\begin{align}& A+B+C=\pi \\
& \tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2}+\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& \text{=}\tan \frac{C}{2}\left( \tan \frac{B}{2}+\tan \frac{A}{2} \right)\text{+}\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& \text{=}\tan \frac{C}{2}\tan \left( \frac{B}{2}\text{+}\frac{A}{2} \right)\left( 1-\tan \frac{B}{2}\tan \frac{A}{2} \right)\text{+}\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& \text{=}\tan \frac{C}{2}\tan \left( \frac{\pi }{2}-\frac{C}{2} \right)\left( 1-\tan \frac{B}{2}\tan \frac{A}{2} \right)\text{+}\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& =1-\tan \frac{B}{2}\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& =1 \\
\end{align}\)
\(\begin{align}
& x=\tan \frac{B}{2}\tan \frac{C}{2},y=\tan \frac{C}{2}\tan \frac{A}{2},z=\tan \frac{A}{2}\tan \frac{B}{2} \\
& 1+\cos A=1+\frac{1-{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}}{1+{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}}=\frac{2}{1+{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}} \\
& \frac{1+\cos A}{2}=\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\frac{A}{2}}=\frac{1}{1+\frac{yz}{x}}=\frac{x}{x+yz} \\
& \\
& \cos \frac{A}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos A}{2}}=\sqrt{\frac{x}{x+yz}} \\
\end{align}\) 其實我的意思是能一眼看出上面式子的功力真不簡單。 嗯，是啊，這必須超熟練公式才行。
看來我還要再更努力練一下三角函數才好。
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