數列遞迴關係
數列(b[size=1]0[/size],b[size=1]1[/size],...)滿足下列遞迴關係:b[size=1]0[/size]=1,
b[size=1]n[/size]=b[size=1]n-1[/size]+[[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{b_{n-1}}[/img]],對所有正整數n
(註:[ ]表高斯符號)
則b[size=1]543[/size]=________。
答案為72068
謝謝
回復 1# tsyr 的帖子
窮舉找規則\( b_{3}=1+1\cdot3=2^{2}+0 \)
\( b_{6}=4+2\cdot3=9+1 \)
\( b_{8}=10+3\cdot2=4^{2}+0\)
\( b_{11}=16+4\cdot3=5^{2}+3\)
\( b_{13}=28+5\cdot2=6^{2}+2\)
\( b_{15}=38+6\cdot2=7^{2}+1\)
\( b_{17}=50+7\cdot2=8^{2}+0\)
\( b_{20}=64+8\cdot3=9^{2}+7\)
\( b_{22}=88+9\cdot2=10^{2}+6\)
\( b_{24}=106+10\cdot2=11^{2}+5\)
\( b_{26}=126+11\cdot2=12^{2}+4\)
\( b_{28}=148+12\cdot2=13^{2}+3\)
\( b_{30}=172+13\cdot2=14^{2}+2\)
\( b_{32}=198+14\cdot2=15^{2}+1\)
\( b_{34}=226+15\cdot2=16^{2}+0\)
\( b_{37}=16^{2}+16\cdot3=17^{2}+15\)
...
\( b_{67}=31^{2}+1+31\cdot2=32^{2}+0 \)
\( b_{68} = 32^{2}+32\cdot3=33^{2}+31 \)
...
\( b_{68+31\cdot 2} = 63^2 + 1 + 63 \cdot 2 = 64^2 +0\)
\( b_{133} = 64^2 + 64 \cdot 2 = 65^2 +63\)
...，應不難觀察及證明其規則
而透過規則，應可推得 \( b_{2^n+n-3} = \left( 2^{n-1} \right)^2 \) (花點時間)
故 \( b_{518} = 256^2 \), \( b_{543} = b_{518+3+2 \cdot 11} = (256+12)^2 + (256-12) = 72068 \)
回復 2# tsusy 的帖子
哇!要發現規律真的要有點耐心
感謝!!
頁:
[1]