Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » I：數與函數 » 88北一女高23競試

qaz 發表於 2014-12-13 21:37

88北一女高23競試

可以請教一下   問題一的第4題如何解嗎?

thepiano 發表於 2014-12-13 22:21

回復 1# qaz 的帖子

令
\(\begin{align}
  & f\left( a \right)=\left( a-1 \right)\left( a-9 \right)\left( a-25 \right)\left( a-49 \right) \\
& -{{x}^{2}}\left( a-9 \right)\left( a-25 \right)\left( a-49 \right)-{{y}^{2}}\left( a-1 \right)\left( a-25 \right)\left( a-49 \right) \\
& -{{z}^{2}}\left( a-1 \right)\left( a-9 \right)\left( a-49 \right)-{{w}^{2}}\left( a-1 \right)\left( a-9 \right)\left( a-25 \right) \\
\end{align}\)
則
\(f\left( a \right)=0\)的四根為4，16，36，64
由根與係數
\(\begin{align}
  & 1+9+25+49+{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{w}^{2}}=4+16+36+64 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+{{w}^{2}}=36 \\
\end{align}\)

qaz 發表於 2014-12-14 02:33

謝謝thepiano老師.   
原來要用根與係數解啊.
不過原樣挺嚇人的.

arend 發表於 2014-12-15 01:57

請教一下第三題 求最大角
算出三個角 tangent  的平方和與相乘的值
接下來就沒頭緒了

謝謝

thepiano 發表於 2014-12-15 06:23

再算出兩兩相乘，利用根與係數寫出三次方程式，解方程可知答案是 135 度

cefepime 發表於 2014-12-15 21:03

[size=3]試解第3題:


[/size][size=3]利用:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]△ABC中，tanA + tanB + tanC = tanA*tanB*tanC (由和角公式)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]乘法公式: a³ + b³ + c³ - 3abc = (a+b+c)³ - 3(a+b+c)(ab+bc+ca)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]因此:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]tanA + tanB + tanC = tanA*tanB*tanC = -1/6[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]tanA*tanB + tanB*tanC + tanC*tanA = [(-181/216) + (1/2) + (1/216)] *2 = -2/3  [/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]即 tanA, tanB, tanC 是下列方程式之三根:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]6x³ + x² - 4x +1 = 0[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]x = -1 為鈍角，即所求 = 3π/4[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]-------------------------------------------[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]作為填充題，本題給了學生取巧的空間: 因答案極可能是特殊角，而 -1 由於計算方便，往往被第一個嘗試，即得答案。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3][/size]

arend 發表於 2014-12-16 00:56

謝謝
我昨日是用和角與差角去想,就卡住了

cefepime 發表於 2014-12-17 22:10

[size=3]關於[問題六] (最後一題)，個人有個疑問，想請教各位的意見。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]我的想法如下:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]題目欲證 P,Q,R 三點共線，即證: ∠PQR = 180° [/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]基於經驗，這種"以邊作正三角形"的題目，往往可以與"旋轉60°"聯想。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]△CDA 中，以 C 點為固定點，逆時針旋轉60°，則成 △CQP，因此 ∠CDA = ∠CQP (逕用 △CDA 全等於 △CQP 亦可)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]△DCB 中，以 D 點為固定點，順時針旋轉60°，則成 △DQR，因此 ∠DCB = ∠DQR[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]∠PQR = (∠CQP + ∠DQR) - ∠CQD = (∠CDA + ∠DCB) - ∠CQD = (360° - 120°) - 60° = 180°，得證。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3](若 ABCD 是凹四邊形，用同法亦得相同結果)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]-----------------------------------------------------------------[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]我的疑問如下:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]上述方法，完全沒有用到 AD = BC 這個條件。經驗上一個設計良好的題目，不會有多餘的條件，所以不禁懷疑是否上面的方法有不嚴謹處。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]請各位賜教，謝謝![/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]
[/size]

thepiano 發表於 2014-12-18 08:06

回復 8# cefepime 的帖子

要證明 P、Q、R 共線，的確用不到 AD = BC 這個條件
它是要證明 △AQB 是正三角形才會用到

cefepime 發表於 2014-12-18 12:44

[size=3][quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-12-18 08:06 AM 發表 [/size][url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=12435&ptid=2104][size=3][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/size][/url]
[size=3]要證明 P、Q、R 共線，的確用不到 AD = BC 這個條件
它是要證明 △AQB 是正三角形才會用到 [/quote][/size]

原來如此，謝謝鋼琴老師的指導!

另外對於[問題五]，個人認為可以推廣如下:

若 n∈N，則 √n - √(n-1)  的每個正整數冪都是形如 √m - √(m-1)，其中 m 是某個正整數。

查看完整版本: 88北一女高23競試