例題：三角函數─利用三角函數求解一元三次方程式
擺一點舊的東西充充場面~求解一元三次方程式 \(x^3-5x+6=1.8\)
[img]https://math.pro/temp/qq7.jpg[/img]
下面附上用數學軟體 Mathematica 求解(它應該是利用 Cardano 的一元三次方程式公式解)
[img]https://math.pro/temp/qq8.jpg[/img] 係數再調整一下就是很好的題目
\( x^3-3x+1=0 \)
提示：\( x=2cosθ \)
[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=60046]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?t=60046[/url]
(1)解方程式\( 4x^3-3x+\frac{1}{2}=0 \)。
(2)求\( sec\frac{2π}{9}+sec\frac{4π}{9}+sec\frac{8π}{9} \)的值。
2001全國高中數學能力競賽台灣省桃竹苗區試題，95和美高中
[url=http://www.math.nuk.edu.tw/senpengeu/HighSchool/2001_Taiwan_High_HsinChu_01.pdf]http://www.math.nuk.edu.tw/senpe ... High_HsinChu_01.pdf[/url]
105.5.1補充
\( x^3-6x+2=0 \)改為\( x^3-6x+4=0 \)
感謝CyberCat指正
\( x^3-6x+4=0 \)
提示：\( x=2 \sqrt{2}cosθ \)
[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=105200]http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=105200[/url]
\( \sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{2+x}}}=x \)
提示：\( x=2cosθ \)
[url=http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=59094]http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=59094[/url]
2010.12.11補充
\( x^3-3x=\sqrt{x+2} \)
提示：\( x=2cos2 \theta \)
[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=150&t=302794]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=150&t=302794[/url]
101.11.27補充
\( x^3-3x+3=0 \)Find x=?.
[url]http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=151&t=508734[/url]
這題可以改問唯一的實根為何？\( \displaystyle x=\root 3 \of{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}} \)
105.5.1補充
這個解法是錯誤的,感謝CyberCat指正
但用三角函數代換的話
\( x=2cos(\theta) \)代入得\( (2cos \theta)^3-3(2cos \theta)+3=0 \)，\( 2(4cos 3 \theta^3-3cos \theta)+3=0 \)，\( 2cos3 \theta+3=0 \)，\( \displaystyle cos3 \theta=\frac{-3}{2} \)
再用\( \displaystyle cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2} \)，\( \displaystyle cos 3\theta=\frac{e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}}{2} \)代入
\( \displaystyle \frac{e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}}{2}=\frac{-3}{2} \)，\( e^{3i\theta}+e^{-3i\theta}=-3 \)，\( (e^{3i\theta})^2+3(e^{3i\theta})+1=0 \)
利用公式解得到\( \displaystyle e^{3i\theta}=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} \)，\( \displaystyle e^{i \theta}=\root 3 \of{\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}} \)
\( \displaystyle x=2cos\theta=e^{i\theta}+e^{-i\theta}=\root 3 \of{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}} \)
改用\( x=y+\frac{1}{y} \)代換的話
\( \displaystyle (y+\frac{1}{y})^3-3(y+\frac{1}{y})+3=0 \)，\( \displaystyle y^3+\frac{1}{y^3}+3=0 \)，\( (y^3)^2+3(y^3)+1=0 \)
利用公式解得到\( \displaystyle y^3=\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2} \)，\( y=\root 3 \of{\frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}} \)
\( \displaystyle x=y+\frac{1}{y}=\root 3 \of{\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of{\frac{-3-\sqrt{5}}{2}} \)
101.1.4補充
求以\( \displaystyle cos \frac{2\pi}{9} \)，\( \displaystyle cos \frac{4\pi}{9} \)，\( \displaystyle cos \frac{8\pi}{9} \)為根的三次方程式並求a,b之值，且
\( \displaystyle a=cos \frac{2\pi}{9}+cos \frac{4\pi}{9}+cos \frac{8\pi}{9} \)，\( \displaystyle b=cos \frac{2\pi}{9}cos \frac{4\pi}{9}cos \frac{8\pi}{9} \)，
則數對\( (a,b)= \)？
(101嘉義高中代理，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1357&page=2#pid7417[/url])
104.4.29補充
\( x^3+3x-2=0 \)在0與1之間有一個實數解\( x_0 \)，試解\( x_0 \)。
(104彰化高中，[url]https://math.pro/db/thread-2235-1-1.html[/url])
提示：\( \displaystyle x=t-\frac{1}{t} \)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2015-4-29 11:38 AM 編輯 [/i]]
回復 2# bugmens 的帖子
請問bugmens老師關於\( x^{3}-6x+2=0 \) 這題
如果利用韋達三角代換 令\( x=2^{1.5}cos\theta \)
算出來\( cos3\theta = \frac{-1}{2^{1.5}} \) 不是特別角，接下來還可以算嗎？
還是我算錯了>< 還是說答案要用反三角表達？
圖型看起來有三個實根 可是都代換失敗><
也試著用t+1/t的換法 沒成功><
把+2改+4似乎是特別角就變得很好算
另外再請問老師
\( x^{3}-3x+3=0 \) 這題若用三角代換法 過程中會出現\( cos3\theta =-1.5 \)
可是\( cos3\theta \)值應該是在-1～1之間 是不是有什麼觀念我沒弄清楚？
[[i] 本帖最後由 CyberCat 於 2016-5-1 07:19 PM 編輯 [/i]] \(x^3-6x+2=0\)應該是\(x^3-6x+4=0\)，這樣才會有特別角
應該是我當初從網頁抄出來時沒有驗算
\(x^3-3x+3=0\),\( \displaystyle x=\root 3 \of {\frac{-3+\sqrt{5}}{2}}+\root 3 \of {\frac{-3-\sqrt{5}}{2}}\)大約\(-2.1038\)
所以一開始\(x=2cos \theta\)是錯誤的假設,還是只能用\( \displaystyle x=y+\frac{1}{y} \)來代換才對
再次感謝指正
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