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三助:自助、人助、天助。

thankyou 發表於 2014-12-9 14:45

請教一題(偶函數、奇函數)

請教一題,如附件,謝謝

\(\displaystyle f\left(x\right)=\log_{\frac{1}{3}}\left(3^x+1\right)+\frac{1}{2}abx\) 為偶函數, \(\displaystyle g\left(x\right)=2^x+\frac{a+b}{2^x}\) 為奇函數
求以 \(a\) 、\(b\) 為兩根的一元二次方程式?

thepiano 發表於 2014-12-9 20:05

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\(f(x)={{\log }_{\frac{1}{3}}}({{3}^{x}}+1)+\frac{1}{2}abx\)是偶函數
\(\begin{align}
  & {{\log }_{\frac{1}{3}}}({{3}^{x}}+1)+\frac{1}{2}abx={{\log }_{\frac{1}{3}}}({{3}^{-x}}+1)-\frac{1}{2}abx \\
& {{\log }_{\frac{1}{3}}}\frac{{{3}^{x}}+1}{{{3}^{-x}}+1}=-abx \\
& {{\log }_{\frac{1}{3}}}{{3}^{x}}=-abx \\
& ab=1 \\
\end{align}\)

\(g(x)={{2}^{x}}+\frac{a+b}{{{2}^{x}}}\)是奇函數
\(\begin{align}
  & {{2}^{-x}}+\frac{a+b}{{{2}^{-x}}}=-\left( {{2}^{x}}+\frac{a+b}{{{2}^{x}}} \right) \\
& \frac{1}{{{2}^{x}}}+\left( a+b \right){{2}^{x}}=-{{2}^{x}}-\frac{a+b}{{{2}^{x}}} \\
& \left( a+b+1 \right){{2}^{x}}=\frac{-1-\left( a+b \right)}{{{2}^{x}}} \\
& \left( i \right)a+b=-1 \\
& \left( ii \right)a+b\ne -1 \\
& {{2}^{2x}}=\frac{-1-a-b}{a+b+1}=-1 \\
\end{align}\)
不合

所求為\({{x}^{2}}+x+1=0\)

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