請教幾題高中數學(空間坐標與平面方程式)
(1) 空間中有五個平面 E1：x–2y +6 = 0, E2：7x–2y –18 = 0, E3：x+y = 0,E4：z = –2, E5：z = 2，若一個五面體的各面分別在 E1, E2, E3, E4, E5 等五個平面
上，求此五面體的體積。
(2) 若平面 E 與三坐標軸的截距分別為 a,b,c 且 abc ≠ 0，若 d 為原點到平面 E 的距
離，試證： 1/d^2=(1/a^2 )+(1/b^2)+(1/c^2)
如右圖，四面體 ABCD 中，∠BAC、∠CAD、∠BAD 都是直角。若用 SABC 表
示ΔABC 的面積，試證明：直四面體的畢氏定理：SBCD^2=SABC^2+SACD^2+SABD^2。
出處：林信安老師的講義
勞煩各位老師幫忙解答
回復 1# studentJ 的帖子
直角四面體的畢氏定理證明可參考
[url]http://www.google.com.tw/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=2&cad=rja&uact=8&ved=0CCIQFjAB&url=http%3A%2F%2Fmathcenter.ck.tp.edu.tw%2FMCenter%2FCtrl%2FePaper%2FePaperOpenFileX.ashx%3FautoKey%3D222&ei=HDB9VJfYG4js8gW8vICgCQ&usg=AFQjCNGOU_czpCciGhBvIFyWkh5AXMKQ2Q&bvm=bv.80642063[/url],d.dGc
(2)
設截點分別為 A(a，0，0)，B(0，b，0)，C(0，0，c)
則由空間中兩向量所張之平行四面形面積，可求出
\(\Delta ABC=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}\)
四面體\(OABC=\Delta ABC\times d\times \frac{1}{3}\)
\(\begin{align}
& \frac{1}{6}abc=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}}}\times d\times \frac{1}{3} \\
& {{a}^{2}}{{b}^{2}}{{c}^{2}}={{d}^{2}}\left( {{a}^{2}}{{b}^{2}}+{{b}^{2}}{{c}^{2}}+{{c}^{2}}{{a}^{2}} \right) \\
& \frac{1}{{{d}^{2}}}=\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}} \\
\end{align}\)
(1)
E1、E2、E4 三平面的交點為 A(4，5，-2)
E2、E3、E4 三平面的交點為 B(2，-2，-2)
E3、E1、E4 三平面的交點為 C(-2，2，-2)
該五面體是一個三角柱，底面為 △ABC，高為 E4 和 E5 的距離
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-12-2 01:23 PM 編輯 [/i]] 謝謝鋼琴老師,小弟先慢慢研究!
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