整除問題
\( \displaystyle a^2+ab+\frac{b^2}{ab-1}\)為正整數\(k\)且\(a\)、\(b\)為正整數。
求\(k=\)?
答案是:4、7 [size=3][/size][size=3]看到題目時，聯想到這題:[/size]
[url=https://math.pro/db/thread-1955-1-2.html][size=3]https://math.pro/db/thread-1955-1-2.html[/size][/url]
[size=3]依照 [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping]http://en.wikipedia.org/wiki/Vieta_jumping[/url] 的方法，[/size][size=3]試著"東施效顰"一下:[/size]
[size=3]1. 若 a = b，則 k = 4[/size]
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[size=3]2. 若 a ≠ b，不失一般性令 a > b:[/size]
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[size=3]2-1 當 b = 1 或 2，則 [/size][size=3]k = 4 或 7，不贅。[/size]
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[size=3]2-2 當 b ≥ 3，k = (a² + ab + b²) / (ab - 1) < (2a² + ab) / (ab - 1) ≤ a (因 2a + b ≤ ab - 1)......(#)[/size]
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[size=3]原式 (a² + ab + b²) / (ab - 1) = k 重新整理得:[/size]
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[size=3]a² - b(k - 1) a + (b² + k) = 0[/size]
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[size=3]亦即 a 是方程式 x² - b(k - 1) x + (b² + k) = 0 之一根，設另一根為 γ，則[/size]
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[size=3]γ = b(k - 1) - a = (b² + k) / a[/size]
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[size=3]由這兩個 "=" 分別可知 γ 是整數與 γ > 0，即 γ 是正整數; 且[/size]
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[size=3]γ = (b² + k) / a < (b² + a) / a (依據 #) < b + 1[/size]
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[size=3]即 a > b ≥ γ [/size]
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[size=3]2-2.1 若 b = γ ，則得上文 1. 之情形[/size]
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[size=3]2-2.2[/size] [size=3]若 b > γ ≥ 3，以下用 ( b , γ ) 代替 ( a , b ) 重複 2-2 之過程，以下類推，直到兩根相等(上文 1. 之情形)，或較小根 = 1 或 2 (上文 2-1 之情形) 為止。由於過程中 k 值保持不變，故得 k = 4 或 7。[/size]
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