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順境的人生人人會走,只是速度快慢而已;
人一定要學著走逆境,而且愈年輕愈好,
因為逆境才是真正習成長的機會。

bch0722b 發表於 2014-11-10 17:45

2題求教

1.已知a1=5,a1+a2=25,a2+a3=125,a3+a4=625。依此規律,求an的一般項?
2.C的103取3+C的103取6+C的103取9+.....C的103取102=?

thepiano 發表於 2014-11-10 18:56

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第1題
\(\begin{align}
  & {{a}_{1}}=5 \\
& {{a}_{2}}={{5}^{2}}-5 \\
& {{a}_{3}}={{5}^{3}}-{{5}^{2}}+5 \\
& {{a}_{4}}={{5}^{4}}-{{5}^{3}}+{{5}^{2}}-5 \\
& : \\
& : \\
& {{a}_{n}}={{5}^{n}}-{{5}^{n-1}}+{{5}^{n-2}}-\cdots \cdots -5{{\left( -1 \right)}^{n}}=\frac{{{5}^{n+1}}}{6}\left[ 1-{{\left( -\frac{1}{5} \right)}^{n}} \right] \\
\end{align}\)

thepiano 發表於 2014-11-10 19:08

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第2題
103 師大附中計算第1題
[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1879[/url]

cefepime 發表於 2014-11-12 01:38

[size=3]關於求級數和 C(103,0) + C(103,3) + C(103,6) ...(依序差3)... + C(103,102) 這類的問題,常用二項式定理配合 1 的虛立方根 ω 來做; 個人另有一想法。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]首先關於 C(n,0) + C(n,2) + C(n,4) ... = 2ⁿ-¹ =  C(n,1) + C(n,3) + C(n,5) ... 這個式子,一般是用二項式定理證明,但其實亦可用"組合意義"解釋之:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]左式代表 " n 個相異物,取偶數個之方法數"; 我們可以先對前 (n-1) 個物品任意取,方法有 2ⁿ-¹ 種,而以下第 n 物只剩 1 種取法 (使成偶數個),這就解釋了式子成立的必然性。右式亦同理。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]現在把上述思維,用在求 C(103,0) + C(103,3) + C(103,6) ... + C(103,102) 上。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]上式代表 "103 個相異物,取3的倍數個之方法數"; 以下用 ∑ C(103,3k) 表示。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]考慮對前102 個物品任意取,方法有 2¹°² 種; 以下對於已取 3m 或 3m+2 個之情形,第 103 物只有 1 種取法,而對已取 3m+1之情形,卻無法達到目標: 由於只有對 1 物取或不取的選擇,因此對於"超過1個"的情形將束手無策。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]因此, ∑ C(103,3k) =  2¹°² - ∑ C(102,3m+1),接著對 ∑ C(102,3m+1) 重複上述思維,以下類推,那麼:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]∑ C(103,3k)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]= 2¹°² - ∑ C(102,3m+1)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]= 2¹°² - 2¹°¹ + ∑ C(101,3n+2)  (對3的餘數依次: 0-1-2 循環)[/size]
[size=3]...[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]= 2¹°² - 2¹°¹ + 2¹°° ... -2³ + 2² - ∑C(2,3p+2)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]=  (2²) * [(-2)¹°¹ -1] / (-2-1)  - C(2,2)[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]= (2¹°³ + 1) / 3[/size]

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