2014臺南市完全中學數學競賽複賽
第１２題感恩將\( \displaystyle \frac{1 \times 2 \times 3 \times \ldots \times 99 \times 100}{6^{100}} \)化為最簡分數\( \displaystyle \frac{n}{m} \)，其中\( m,n \)為互質的正整數，如果分母\( m \)的標準分解式表示為\( m=2^a \times 3^b \)，則\( a+b= \)？
(A)52 (B)53 (C)54 (D)55
題目和參考解答
h ttp://www.nnjh.tn.edu.tw/unit-academic-affairs/3197-%E5%85%AC%E5%91%8A%E8%87%BA%E5%8D%97%E5%B8%822014%E5%B9%B4%E5%85%AC%E7%A7%81%E7%AB%8B%E5%9C%8B%E6%B0%91%E4%B8%AD%E5%AD%B8%E6%9A%A8%E5%AE%8C%E5%85%A8%E4%B8%AD%E5%AD%B8%E6%95%B8%E5%AD%B8%E7%AB%B6%E8%B3%BD%E8%A4%87%E8%B3%BD%E8%A9%A6%E9%A1%8C%E5%8F%8A%E5%8F%83%E8%80%83%E7%AD%94%E6%A1%88連結已失效
103.11.11版主補充
只要寫題號就可以了，不需要拍成照片。
三題18 19 20
感恩18.
從54到199的所有整數中，每一個位數的數字都不同的整數共有多少個?
(A)112 (B)113 (C)114 (D)123
19.
計算\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{6}}+\frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{12}}+\ldots+\frac{\sqrt{100}-\sqrt{99}}{\sqrt{9900}}= \)？
(A)\( \displaystyle \frac{1}{10} \) (B)\( \displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \) (C)\( \displaystyle \frac{9}{10} \) (D)1
20.
設\( a<b<0 \)且\( \displaystyle 5b-a=\frac{b^2}{a} \)，則\( \displaystyle \frac{a}{b} \)的值為下列何者？
(A)\( \displaystyle \frac{5-\sqrt{21}}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{5+\sqrt{21}}{2} \) (C)\( \displaystyle \frac{7-\sqrt{21}}{2} \) (D)\( \displaystyle \frac{7+\sqrt{21}}{2} \) 第 12 題
100! 的標準分解式中
2 的次方為 [100/2] + [100/4] + [100/8] + [100/16] + [100/32] + [100/64] = 97
3 的次方為 [100/3] + [100/9] + [100/27] + [100/81] = 48
故 a = 3，b = 52 第18題
五十幾：5個
六十幾到九十幾：都是9個
一百零幾到一百九十幾：都是8個 (一百一十幾不計)
所求=5+9*4+8*9=113
第19題
所求
\(\begin{align}
& =1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}}-\frac{1}{\sqrt{4}}+\cdots \cdots +\frac{1}{\sqrt{99}}-\frac{1}{\sqrt{100}} \\
& =1-\frac{1}{10} \\
& =\frac{9}{10} \\
\end{align}\)
第20題
\(\begin{align}
& 5b-a=\frac{{{b}^{2}}}{a} \\
& {{a}^{2}}-5ba+{{b}^{2}}=0 \\
& a=\frac{5b\mp \sqrt{21}b}{2} \\
& a<b<0 \\
& a=\frac{5b+\sqrt{21}b}{2} \\
& \frac{a}{b}=\frac{5+\sqrt{21}}{2} \\
\end{align}\)
2014臺南市完全中學數學競賽複賽
麻煩大家明天要提試題申訴小弟實力不夠大約找到二題答案錯的感謝大家七題21 24 25 26 28 29 30
21.
已知\( \alpha=9^t \)且\( \beta=12^t \)，其中\( t \)為一數，若\( \alpha+\beta=16^t \)，則\( \displaystyle \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha \beta}= \)？
(A)1 (B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2} \) (C)\( \sqrt{5} \) (D)\( 2 \sqrt{5} \)
24.
如圖，正方形\( ABCD \)之面積為64平方公分，正方形\( CEFG \)之面積為36平方公分，\( \overline{DE} \)與\( \overline{BF} \)交於\( P \)點，若\( \delta BDP \)之面積為\( \displaystyle a+\frac{c}{b} \)平方公分(帶分數)，其中\( a,b,c \)為正整數，\( c<b \)，且\( b,c \)互質，則\( a+b+c \)之值為多少？
(A)68 (B)69 (C)70 (D)71
[attach]2596[/attach]
25.
設\( a,b,c \)均為正數，且滿足\( a^2+b^2-c^2=0 \)的關係；試問：\( \displaystyle \frac{c}{a+b} \)的最小值為多少？
(A)\( \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3} \) (B)\( \displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2} \) (C)\( \displaystyle \frac{1}{2} \) (D)\( \sqrt{2} \)
26.
已知有13個相異的數\( a_1 , a_2 , a_3 , \ldots , a_{13} \)，其中至少有3個正數，且正好有\( n \)個負數。今將這13個數中任意二個數相乘，共有91個乘積；如果其中正好有22個數是負數，則\( n= \)?
(A)2 (B)3 (C)10 (D)11
28.
如圖所示，以\( O \)點為圓心，\( \overline{AB} \)為圓\( O \)的直徑，弦\( \overline{CD} \)垂直\( \overline{AB} \)且與\( \overline{AB} \)交於\( E \)點；如果\( \overline{AB} \)的長度為二位整數，而\( \overline{CD} \)的長度正好是此二位數的個位數字與十位數字互換位置；若已知\( \overline{OE} \)的長度為正分數，則\( \overline{AB} \)的長度為多少？
(A)65 (B)74 (C)83 (D)92
[attach]2597[/attach]
29.
如圖，正方形\( ABCD \)中，其邊長為1，將每邊作\( n \)等分，其中\( n \)為正整數，且點\( E,F,G,H \)都是各邊上的等分點，使得\( \displaystyle \overline{BE}=\overline{CF}=\overline{DG}=\overline{AH}=\frac{1}{n} \)；分別作\( \overline{AF},\overline{CH},\overline{BG},\overline{DE} \)，此四線段分別交於\( P,Q,R,S \)四點。如果四邊形\( PQRS \)的面積為\( \displaystyle \frac{1}{421} \)，試問\( n \)值為多少?
(A)14 (B)15 (C)16 (D)17
[attach]2598[/attach]
30.
在矩形\( ABCD \)的較長邊\( \overline{AB} \)上取一點\( Q \)，又在較短邊\( \overline{AD} \)上取一點\( P \)，使得\( \delta PAQ \)，\( \delta QBC \)和\( \delta CDP \)的面積皆相等，\( \displaystyle \frac{\overline{AQ}}{\overline{QB}}= \)？
(A)\( \displaystyle \frac{1+\sqrt{2}}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{1+\sqrt{3}}{2} \) (C)\( \displaystyle \frac{\sqrt{5}-1}{2} \) (D)\( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \)
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-11-11 07:38 AM 編輯 [/i]] 參考一下 26題應該是13個數可重複選取
這樣就有解了
回復 3# sorze 的帖子
第26題原來那91個乘積包含自己乘自己,題目沒有說清楚
91=C(13,2)+13
22=2*11
故n=2 剛發現第26題在2011年的複賽就考過了，當年也有老師提疑義，但官方維持原答案
結果今年又考一次......
從題目中的"任意二個數相乘"，誰會想到自己乘以自己也算
一個如此大型的比賽，不應出現考古題及題意不清的情形，命題應更嚴謹一些才是
回復 5# thepiano 的帖子
我提了四題11 14 26 29 四題疑義不過都維持原答案回復 6# nanpolend 的帖子
11 & 14 & 29 這三題應該沒問題再請教1題台南市市長盃數學競賽
老師們好，不好意思，最近在算一些國中數學競賽的題目，
發現很容易卡題，
所以又再來請教一下老師們，
煩請各位老師指點，謝謝。 [size=3]這份考題在上面的"有限數學"子板塊裡有在討論，可移駕過去參考。[/size]
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[size=3]這題提供一下拙見: (方法不只一種)[/size]
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[size=3]由圖型的對稱性，知 PQRS 為正方形，其邊長 = √(1/421)[/size]
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[size=3]令 BE = 1/n = x，則平行四邊形 BEDG 面積 = x = DE * PS = √[1 + (1-x)²] * √(1/421)[/size]
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[size=3]兩邊平方，移項整理:[/size]
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[size=3]421x² = x² -2x +2[/size]
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[size=3]210x² + x -1 = 0[/size]
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[size=3](15x-1)(14x+1) = 0[/size]
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[size=3]x = 1/15[/size]
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[size=3]故 n = 15。[/size]
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[/size] 已合併相同主題。
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