[網站] GeoGebra 教學
1. 臺北縣立錦和高中數學科網站連結已失效h ttp://learn.jhsh.tpc.edu.tw/~smath/
有一套不錯的幾何軟體 GeoGebra 的教學
有點類似 ＧＳＰ ，不過是免費的多國語言幾何軟體
看那線上教學似乎很容易使用。
2. GeoGebra 的使用手冊，中譯版
連結已失效h ttp://www.geogebra.org/en/upload/files/zh-tw/jojoba26/docuzh_TW.pdf
or
連結已失效h ttp://www.geogebra.org/source/translation/help/translated_documents/docuzh_TW30.doc
3. 花蓮縣 96 學年度『國中小學校園 ─ 自由軟體融入教學工具』的網頁上有
曾已泉老師製作的 GeoGebra 教學 連結已失效 h ttp://96f.hlc.edu.tw/B/b14/b14_geogebra.html
4. 台北市立陽明高中的羅驥韡老師的【學習GeoGebra】網站
[url]https://www.geogebra.org/u/pegasusroe[/url]
5. 羅東高中官長壽老師【阿壽工坊】的 GeoGebra 工作室
[url]http://120.101.70.8/longlife/[/url]
6. 泰北高中藍邦偉老師的【藍老師的GeoGebra教室】
[url]http://w2.tpsh.tp.edu.tw/math0128/index.htm[/url]
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另外，
1. Poly ─ 一個可以展示立體多邊形的軟體
[url=http://www.peda.com/products/]http://www.peda.com/products/[/url]
2. GeoNext 一個免費的幾何繪圖軟體
[url]http://geonext.uni-bayreuth.de/[/url] 這原本是我放在官方討論區的範例,只是討論區的人氣仍然低迷,借這個地方宣傳一下
連結已失效h ttps://help.geogebra.org/topic/geogebra-demo 88年大學聯考自然組其中一題
有一邊長為1的正立方體。今置頂點A於空間座標系中之原點(0，0，0)，置頂點B於正z軸上，則頂點C之z座標為？
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=1768&sid=aa69ef851d8571fcc8ad991fa3c7255e[/img]
附加檔案：[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=1769]88exam.ggb[/url]
補充一題，95斗南高中
連結已失效h ttp://forum.nta.org.tw/examservice/showthread.php?t=22017
如右圖，有一正立方體。今置頂點A於空間坐標系中之原點(0,0,0)，置頂B點於正z軸上，若C到xy平面的距離為a，D到xy平面的距離為b，求 \(\displaystyle\frac{a}{b} \)？ 觀察不同的n值對sin(nx),sin(x/n)週期的影響
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=1804&sid=aa69ef851d8571fcc8ad991fa3c7255e[/img]
附加檔案：[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=1803]sin(x).rar[/url] 請教一下，我今天要開GeoGebra的時候
突然出現"無法開啟應用程式"的訊息
我去測試了我的Java
是已經安裝最新版本了
再試一次還是不行
我只好重新下載GeoGebra
安裝之後才可以用
不知是何原因??
還是這兩三個月來
我在用完GeoGebra之後
都會出現微軟新注音的警告訊息
可是我用的是正版軟體啊???
常常被電腦氣死!! 求計算\( x^2+y^2 \ge 1\)，\( y^2+z^2\ge 1 \)之共同部分體積(98彰化女中)
[url=https://math.pro/db/thread-741-1-1.html]https://math.pro/db/thread-741-1-1.html[/url]
可惜GeoGebra無法像Mathematica表現出立體圖形的明暗深淺
[url=http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html]http://mathworld.wolfram.com/SteinmetzSolid.html[/url]
只好用正16邊形來代表圓,倒也能看出牟合方蓋的樣子
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=1925[/img]
附加檔案：[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=1926]Steinmetz solid.ggb[/url] [url=http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Espace/Mouchecube.html]http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/Espace/Mouchecube.html[/url]
參考這個網頁我也做一個摺疊的立方體動畫，原本的範例隱藏了很多輔助線，背後的數學原理我其實不太了解，我試著用sin，cos等三角函數來達到空間中點對點旋轉，再搭配一個典型的數學問題就完成附件中的範例。
若A點有一隻小螞蟻，沿著正方體外表面至G點，則小螞蟻所走最短路徑長為？
另外還有其他好玩的範例
[url=http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/accueilmath.htm]http://dmentrard.free.fr/GEOGEBRA/Maths/accueilmath.htm[/url]
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=2055[/img]
附加檔案：[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=2056]folding cube.ggb[/url] 設一球之球心與一正立方體之中心重合，考慮球面與正立方體所有邊的交點，則交點的個數不可能是(A) 0 (B) 8 (C) 12 (D) 16 (E) 24(90大學聯考自然組試題)
[url]http://140.122.140.4/~cyc/_private/geogebra/index.htm[/url]
我曾經參考陳創義教授的球面做法,但應用時發現球面變大變小時,
而且要能應付使用者旋轉視角,整體計算量太大導致速度都被變慢了
我只好再土法煉鋼用多面體來模擬球面,讓理想和實際能取得平衡點
立方體的八個頂點為(1,1,1),(-1,1,1),(1,-1,1),(-1,-1,1),(1,1,-1),(-1,1,-1),(1,-1,-1),(-1,-1,-1)
假設球面的半徑為r,球心在(0,0,0),討論和立方體的交點
\( 0<r<\sqrt{2} \) 球面和立方體沒有交點
\( r=\sqrt{2} \) 球面和每個邊交於1點,共12個點
\( \sqrt{2}<r<\sqrt{3} \) 球面和每個邊交於2點,共24個點
\( r=\sqrt{3} \) 球面和立方體交於頂點,共8個點
\( \sqrt{3}>r \) 球面和立方體沒有交點
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=2745[/img]
附加檔案：[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=2746]sphere and cube.ggb[/url] 前幾天我在國家地理頻道收看"偉大工程巡禮-廣州電視觀光塔"
[img]http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/04/Guangzhou_Tower.jpg/225px-Guangzhou_Tower.jpg[/img]
[url=http://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%B9%BF%E5%B7%9E%E7%94%B5%E8%A7%86%E8%A7%82%E5%85%89%E5%A1%94]wiki-廣州電視觀光塔[/url]
[url=http://images.google.com/images?client=opera&rls=zh-tw&q=Canton+Tower&sourceid=opera&oe=utf-8&um=1&ie=UTF-8&ei=9j4sS_7mDoH46QOY5839BQ&sa=X&oi=image_result_group&ct=title&resnum=4&ved=0CCMQsAQwAw]Google圖片搜尋[/url]
從外觀看起來就是個雙曲線，突然靈機一動用GeoGebra做了一個動畫出來，看著腰身從胖變瘦再從瘦變胖，我想當初的建築設計師也在煩惱這個問題吧。
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=3128[/img]
附加檔案：[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=3127]Hyperbola.ggb[/url] 這是我參考[url=https://math.pro/db/thread-894-1-1.html]https://math.pro/db/thread-894-1-1.html[/url]所完成的平面截圓柱範例
起先我先嘗試著用圓柱垂直的線和平面對角線的交點來決定橢圓的位置，但加上綠色多邊形之後當我旋轉整個圓柱時有些多邊形的形狀會跑掉，只好放棄用幾何的方法改採代數的方法將橢圓上的點座標算出來，也就是各位所看到的結果。
另外我還採用GeoGebra的"動態色彩"，讓整個圓柱有明暗深淺的變化看起來更有立體感。
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=3377[/img]
附加檔案：[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=3378]cylinder plane intersection.ggb[/url] 再練習一次立方體開闔的範例，只是轉動的次數變多了，花比較多的時間才完成
以立方體相鄰的兩點作為起點和終點，試問經過立方體6個面的最短路徑為何？
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=5084[/img]
附加檔案：[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=5085]folding cube.ggb[/url] 這是我參考 葉耀明、林梵君，"以可縮放式向量圖形語言呈現碎形圖形"
利用JavaScript+Geogebra實作，另外84大學聯考自然組也考過類似的題目
執行時會將全部的點座標先計算出來才顯示圖形所以會有20~30秒的延遲
可以調整KochSnowflake.htm的var TotalPoly=4;來觀察更多層的雪花碎形
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=5631[/img]
附加檔案：[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=5632]KochSnowflake.rar[/url] 空間中一球面S:x^2+(y-2)^2+(z-2)^2=2，由點A(0,4,4)置一光源照射球面。
求球面S在xy平面上的影子輪廓的方程式
(98國立臺中一中期中考試題)
動畫內容是我一張一張抓圖再另外加上解題過程
所以ggb檔案就只有球面及空間中一點
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=7941[/img]
附加檔案：[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=7942]DandelinSpheres.rar[/url] 放置邊長為1的正六邊形PABCDE沿x軸滾動。設頂點P(x,y)的軌跡方程式為一週期函數y=f(x)。試求在一次週期中，y=f(x)的函數圖形與x軸所圍成的面積為？
(100中壢高中，[url]https://math.pro/db/thread-1119-1-3.html[/url])
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=11608[/img]
附加檔案：[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=11609]RollingHexagon.ggb[/url] 一球面的球心與一正四面體的中心重合，考慮球面與正四面體所有邊的交點，則交點個數可能是：(A)0 (B)4 (C)6 (D)8 (E)12
(國立台中一中 99學年度第1學期 期末考試 高二自然組 數學科試題)
[url]http://www.tcfsh.tc.edu.tw/web/adm/exam/examination/exam3/99-1/99-1-3/99-1-3-2-2.pdf[/url]
[img]https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=18962[/img]
附加檔案：[url=https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=18963]Sphere and Tetrahedron.ggb[/url] 之前做過正六邊形的滾動，日前剛好看到Putnam這題，順手將滾動的長方形的動畫也做出來。
A1.
The rectangle with vertices (0, 0), (0, 3), (2, 0) and (2, 3) is rotated clockwise through a right angle about the point (2, 0), then about (5, 0), then about (7, 0), and finally about (10, 0). The net effect is to translate it a distance 10 along the x-axis. The point initially at (1, 1) traces out a curve. Find the area under this curve (in other words, the area of the region bounded by the curve, the x-axis and the lines parallel to the y-axis through (1, 0) and (11, 0) ).
(52nd Putnam 1991，[url]http://mks.mff.cuni.cz/kalva/putnam/putn91.html[/url])
[img]https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=20456[/img]
附加檔案：[url=https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=20457]RollingRectangle.ggb[/url] 1972ASHME
Equilateral triangle ABP with side AB of length 2 inches is placed inside a square AXYZ with side of length 4 inches so that B is on side AX. The triangle is rotated clockwise about B, then P, and so on along the sides of the square until P,A, and B all return to their original positions. The length of the path in inches traversed by vertex P is equal to(A)\( \displaystyle \frac{20 \pi}{3} \) (B)\( \displaystyle \frac{32 \pi}{3} \) (C)\( 12 \pi \) (D)\( \displaystyle \frac{40 \pi}{3} \) (E)\( 15 \pi \)
按照題意一開始是△ABP，繞了一圈回到起點變成△PAB，繞第二圈回到起點變成△BPA，繞第三圈才回到△ABP。
開始 第一圈 第二圈 第三圈
Ｐ Ｂ Ａ Ｐ
△ △ △ △
Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ Ｐ Ａ Ｂ
但將各段加起來會比較麻煩，我將正方形攤開成一直線
P點每次旋轉\( \displaystyle \frac{2 \pi}{3} \)，共旋轉16次，但有8次實際上只轉了\( \displaystyle \frac{\pi}{6} \)
(第一圈的Y,Z，第二圈的X,Y,W，第三圈的X,Z,W)
總共旋轉\( \displaystyle \frac{2 \pi}{3}\times 16-\frac{\pi}{2} \times 8=\frac{20 \pi}{3} \)
扇形半徑是2，P點路徑長為\( \displaystyle 2 \times \frac{20 \pi}{3}=\frac{40 \pi}{3} \)，答案D
[img]https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=20997[/img]
[img]https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=20996[/img]
附加檔案：[url=https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=20998]RollingTrangle1.rar[/url]
102木柵高工考了一題類似題，將三角形繞著正方形外面，問P點經過的路徑為何？
[url=https://math.pro/db/thread-1662-1-2.html]https://math.pro/db/thread-1662-1-2.html[/url]
一樣要繞三圈才會回到△ABP
P點旋轉\( \displaystyle \frac{2 \pi}{3} \)共16次，但有8次要多轉\( \displaystyle \frac{\pi}{2} \)
總共旋轉\( \displaystyle \frac{2 \pi}{3} \times 16+\frac{\pi}{2} \times 8=\frac{44 \pi}{3} \)
102木柵高工的扇形半徑是1，所以P點路徑長為\( \displaystyle 1 \times \frac{44 \pi}{3}=\frac{44 \pi}{3} \)
[img]https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=21000[/img]
[img]https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=20999[/img]
附加檔案：[url=https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=21001]RollingTrangle2.rar[/url] 將任意三角形的每個邊三等分，將每個邊的第一個等分點和另一個頂點相連，所形成的小三角形面積是原本三角形面積的1/7。
在Proof Without WordsⅡ這本書中，William Johnston和Joe Kennedy以切割重組的方式解決這個問題。
99彰化女中也考過這題
[url]https://math.pro/db/thread-948-1-1.html[/url]
[img]https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=22355[/img]
附加檔案：[url=https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=22356]Heptasection of a triangle.ggb[/url] 原文章[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1876&page=1#pid10303[/url]
[url]https://help.geogebra.org/topic/geogebra-demo#comment-26361[/url]
[img]https://help.geogebra.org/public/attachments/0cb0b2be6313ff6609dedabf1472c7fa.gif[/img]
這次我使用GeoGebra的JavaScript程式語言做出Lattice Reduction功能。
以下是原始碼
var u1x=ggbApplet.getValue("v_1x");
var u1y=ggbApplet.getValue("v_1y");
var u2x=ggbApplet.getValue("v_2x");
var u2y=ggbApplet.getValue("v_2y");
var temp,k,End;
do{End=true;
if(u1x*u1x+u1y*u1y > u2x*u2x+u2y*u2y)
{temp=u1x; u1x=u2x; u2x=temp;
temp=u1y; u1y=u2y; u2y=temp;
End=false;
}
k=Math.round((u1x*u2x+u1y*u2y)/(u1x*u1x+u1y*u1y));
if(k!=0)
{u2x=u2x-k*u1x;
u2y=u2y-k*u1y;
End=false;
}
}
while (End==false);
ggbApplet.setValue("u_1x",u1x);
ggbApplet.setValue("u_1y",u1y);
ggbApplet.setValue("u_2x",u2x);
ggbApplet.setValue("u_2y",u2y);
ggbApplet.evalCommand("u1=Vector[(u_1x,u_1y)]");
ggbApplet.evalCommand("u2=Vector[(u_2x,u_2y)]");
[img]https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=24491[/img]
附加檔案：[url=https://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=24490]2DimensionLatticeReduction.ggb[/url]
封閉區域著色
意外地發現 110桃園高中的填充 12 圖形中的區線，其實畫得是折線，應當是作圖的老師利用多邊形的功能進行著色填滿實際上，Geogebra 對於以圓弧、線段組合而成的封閉區域有用 Locus 指令的著色方式：
在官長壽老師的阿壽工坊有教學
[url]http://120.101.70.8/longlife/GGB_Classroom/[/url]
[url]http://120.101.70.8/longlife/GGB_Classroom/Unit_3/Command-03.html[/url]
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