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dtc5527 發表於 2014-10-10 21:18

一題求解 [求證 2^(3n+3)-7n+41 恆為 49 的倍數]

如附件

設 \(n\in\mathbb{N}\) ,若 \(2^{3n+3}-7n+41\) 恆為正整數 \(m\) 的倍數,則 \(m\) 有幾種不同的數值?

thepiano 發表於 2014-10-10 22:35

回復 1# dtc5527 的帖子

m 應是正整數

n 先用 1、2 代入觀察,再用數學歸納法證明,其恆為 49 的倍數
故答案為 3 種

dtc5527 發表於 2014-10-11 08:46

回復 2# thepiano 的帖子

抱歉,m為正整數才對。
可否透過移項的一些代數方法直接討論而得,謝謝鋼琴兄的解答。

thepiano 發表於 2014-10-11 09:13

回復 3# dtc5527 的帖子

\(\begin{align}
  & {{2}^{3n+3}}-7n+41 \\
& ={{8}^{n+1}}-8-7n+49 \\
& =8\left( {{8}^{n}}-1 \right)-7n+49 \\
& =7\left( {{8}^{n}}-1 \right)+{{8}^{n}}-1-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n \right)+49 \\
&  \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1\equiv 1+1+\cdots \cdots +1+1\equiv n\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n\equiv 0\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{2}^{3n+3}}-7n+41\equiv 0\quad \left( \bmod \ 49 \right) \\
\end{align}\)

好像沒有比較好寫......

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-10-11 09:15 AM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2014-10-11 20:35

依循 thepiano 老師的起頭發想,但改套用二項式定理,

\(8^{n+1}\equiv\left(7+1\right)^{n+1}\equiv C^{n+1}_1\cdot7^1+C^{n+1}_0\cdot7^0\equiv 7n+8\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow 8^{n+1}-8-7n\equiv 0\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow \left(8^{n+1}-8-7n\right)+7^2\equiv  0\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow 2^{3n+3}-7n+41\equiv  0\pmod{7^2}\)

thepiano 發表於 2014-10-11 20:56

回復 5# weiye 的帖子

這式子真漂亮...

dtc5527 發表於 2014-10-12 13:25

回復 5# weiye 的帖子

好漂亮的想法,謝謝

克勞棣 發表於 2020-2-4 14:11

回復 4# thepiano 的帖子

也是可以用數學歸納法唷!

n為非負整數,證明2^(3n+3)-7n+41恆為49的倍數
2^(3n+3)-7n+41=8^(n+1)-7n+41
當n=0時,8^(0+1)-7*0+41=49為49的倍數,成立。
設當n=k時成立,即8^(k+1)-7k+41≡0 (mod 49) → 8^(k+1)≡7k-41≡7k+8 (mod 49).....甲
當n=k+1時,
8^(k+2)-7(k+1)+41
≡8*8^(k+1)-7k-7+41
≡8*8^(k+1)-7k+34
≡8*(7k+8)-7k+34.....將甲式代入
≡49k+98
≡0 (mod 49)
故n=k+1時亦成立。
根據數學歸納法的原理,原式恆成立。

thepiano 發表於 2020-2-4 16:16

回復 8# 克勞棣 的帖子

我有說不能用數學歸納法嗎?

克勞棣 發表於 2020-2-4 23:53

回復 9# thepiano 的帖子

鋼琴大:
您想太多了。在下有說您有說不能用數學歸納法嗎?
在下說「也是可以用數學歸納法唷!」只是因為您用的不是數學歸納法,而在下想提供給大家另一個證法而已。謝謝!

thepiano 發表於 2020-2-5 09:49

回復 10# 克勞棣 的帖子

我在二樓就有說可用數學歸納法,而樓主在三樓表明他要的不是數學歸納法,所以我在四樓用了其它的方法,你要提供證法給別人,幹嘛回覆我四樓的帖子?

克勞棣 發表於 2020-2-5 12:45

thepiano君:
抱歉!在下實在無法從「可否透過移項的一些代數方法直接討論而得」推論出「我不要用數學歸納法」,因為數學歸納法也可能用到移項,且它也不是間接的。
至於「回復 4# thepiano 的帖子」,這只是系統自動帶出的一句話,在下是在您的回應中按下「回復」沒錯,但我針對的是題目本身,不是您的證法,我自己打出來(而不是系統自動帶出)的文字裡根本就沒有提到您或您的證明。如果我在您的回應中按下「回復」,但刪除「回復 4# thepiano 的帖子」這句話,您是否就不會反彈呢?但是這差別在哪裡?

thepiano 發表於 2020-2-5 13:03

回復 12# 克勞棣 的帖子

針對題目本身的話,就去樓主的帖子按回覆,你在我的帖子按回覆就是針對這個帖子
論壇的規則你會不知道?

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