一題求解 ［求證 2^(3n+3)-7n+41 恆為 49 的倍數］
如附件設 \(n\in\mathbb{N}\) ，若 \(2^{3n+3}-7n+41\) 恆為正整數 \(m\) 的倍數，則 \(m\) 有幾種不同的數值？
回復 1# dtc5527 的帖子
m 應是正整數n 先用 1、2 代入觀察，再用數學歸納法證明，其恆為 49 的倍數
故答案為 3 種
回復 2# thepiano 的帖子
抱歉，m為正整數才對。可否透過移項的一些代數方法直接討論而得，謝謝鋼琴兄的解答。
回復 3# dtc5527 的帖子
\(\begin{align}& {{2}^{3n+3}}-7n+41 \\
& ={{8}^{n+1}}-8-7n+49 \\
& =8\left( {{8}^{n}}-1 \right)-7n+49 \\
& =7\left( {{8}^{n}}-1 \right)+{{8}^{n}}-1-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n \right)+49 \\
& \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1\equiv 1+1+\cdots \cdots +1+1\equiv n\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n\equiv 0\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{2}^{3n+3}}-7n+41\equiv 0\quad \left( \bmod \ 49 \right) \\
\end{align}\)
好像沒有比較好寫......
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-10-11 09:15 AM 編輯 [/i]] 依循 thepiano 老師的起頭發想，但改套用二項式定理，
\(8^{n+1}\equiv\left(7+1\right)^{n+1}\equiv C^{n+1}_1\cdot7^1+C^{n+1}_0\cdot7^0\equiv 7n+8\pmod{7^2}\)
\(\Rightarrow 8^{n+1}-8-7n\equiv 0\pmod{7^2}\)
\(\Rightarrow \left(8^{n+1}-8-7n\right)+7^2\equiv 0\pmod{7^2}\)
\(\Rightarrow 2^{3n+3}-7n+41\equiv 0\pmod{7^2}\)
回復 5# weiye 的帖子
這式子真漂亮...回復 5# weiye 的帖子
好漂亮的想法，謝謝回復 4# thepiano 的帖子
也是可以用數學歸納法唷！n為非負整數，證明2^(3n+3)-7n+41恆為49的倍數
2^(3n+3)-7n+41=8^(n+1)-7n+41
當n=0時，8^(0+1)-7*0+41=49為49的倍數，成立。
設當n=k時成立，即8^(k+1)-7k+41≡0 (mod 49) → 8^(k+1)≡7k-41≡7k+8 (mod 49).....甲
當n=k+1時，
8^(k+2)-7(k+1)+41
≡8*8^(k+1)-7k-7+41
≡8*8^(k+1)-7k+34
≡8*(7k+8)-7k+34.....將甲式代入
≡49k+98
≡0 (mod 49)
故n=k+1時亦成立。
根據數學歸納法的原理，原式恆成立。
回復 8# 克勞棣 的帖子
我有說不能用數學歸納法嗎？回復 9# thepiano 的帖子
鋼琴大：您想太多了。在下有說您有說不能用數學歸納法嗎？
在下說「也是可以用數學歸納法唷！」只是因為您用的不是數學歸納法，而在下想提供給大家另一個證法而已。謝謝！
回復 10# 克勞棣 的帖子
我在二樓就有說可用數學歸納法，而樓主在三樓表明他要的不是數學歸納法，所以我在四樓用了其它的方法，你要提供證法給別人，幹嘛回覆我四樓的帖子？ thepiano君：抱歉！在下實在無法從「可否透過移項的一些代數方法直接討論而得」推論出「我不要用數學歸納法」，因為數學歸納法也可能用到移項，且它也不是間接的。
至於「回復 4# thepiano 的帖子」，這只是系統自動帶出的一句話，在下是在您的回應中按下「回復」沒錯，但我針對的是題目本身，不是您的證法，我自己打出來(而不是系統自動帶出)的文字裡根本就沒有提到您或您的證明。如果我在您的回應中按下「回復」，但刪除「回復 4# thepiano 的帖子」這句話，您是否就不會反彈呢？但是這差別在哪裡？
回復 12# 克勞棣 的帖子
針對題目本身的話，就去樓主的帖子按回覆，你在我的帖子按回覆就是針對這個帖子論壇的規則你會不知道？
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