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所謂「信心」,
是無論景氣再壞,都要相信自己有能力。

dtc5527 發表於 2014-10-10 21:18

一題求解 [求證 2^(3n+3)-7n+41 恆為 49 的倍數]

如附件

設 \(n\in\mathbb{N}\) ,若 \(2^{3n+3}-7n+41\) 恆為正整數 \(m\) 的倍數,則 \(m\) 有幾種不同的數值?

thepiano 發表於 2014-10-10 22:35

回復 1# dtc5527 的帖子

m 應是正整數

n 先用 1、2 代入觀察,再用數學歸納法證明,其恆為 49 的倍數
故答案為 3 種

dtc5527 發表於 2014-10-11 08:46

回復 2# thepiano 的帖子

抱歉,m為正整數才對。
可否透過移項的一些代數方法直接討論而得,謝謝鋼琴兄的解答。

thepiano 發表於 2014-10-11 09:13

回復 3# dtc5527 的帖子

\(\begin{align}
  & {{2}^{3n+3}}-7n+41 \\
& ={{8}^{n+1}}-8-7n+49 \\
& =8\left( {{8}^{n}}-1 \right)-7n+49 \\
& =7\left( {{8}^{n}}-1 \right)+{{8}^{n}}-1-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)-7n+49 \\
& =49\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1 \right)+7\left( {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n \right)+49 \\
&  \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1\equiv 1+1+\cdots \cdots +1+1\equiv n\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{8}^{n-1}}+{{8}^{n-2}}+\cdots \cdots +8+1-n\equiv 0\quad \left( \bmod \ 7 \right) \\
& {{2}^{3n+3}}-7n+41\equiv 0\quad \left( \bmod \ 49 \right) \\
\end{align}\)

好像沒有比較好寫......

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-10-11 09:15 AM 編輯 [/i]]

weiye 發表於 2014-10-11 20:35

依循 thepiano 老師的起頭發想,但改套用二項式定理,

\(8^{n+1}\equiv\left(7+1\right)^{n+1}\equiv C^{n+1}_1\cdot7^1+C^{n+1}_0\cdot7^0\equiv 7n+8\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow 8^{n+1}-8-7n\equiv 0\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow \left(8^{n+1}-8-7n\right)+7^2\equiv  0\pmod{7^2}\)

\(\Rightarrow 2^{3n+3}-7n+41\equiv  0\pmod{7^2}\)

thepiano 發表於 2014-10-11 20:56

回復 5# weiye 的帖子

這式子真漂亮...

dtc5527 發表於 2014-10-12 13:25

回復 5# weiye 的帖子

好漂亮的想法,謝謝

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