三角形內的極值問題
三角形ABC中，AB+AC=2，AD+BC=根號5(AD垂直BC於D)，求所有可能三角形?我知道只有一種..但請說明一下。 [size=3]依題意，0 < BC < 2。若固定B，C兩點，則A落在以B，C為焦點，長軸長 = 2 的橢圓上。[/size]
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[size=3]現以 a，b，c 分別表示上述橢圓之半長軸長，半短軸長，與半焦距，則[/size]
[size=3]b² + c² =1 (=a²)，且 b + 2c ≥ √5 (b ≥ AD，2c =BC) ...(1)[/size]
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[size=3]另一方面，由柯西不等式，有:[/size]
[size=3](b² + c²)(1² + 2²) ≥ (b + 2c)²[/size]
[size=3]即 √5 ≥ b + 2c ...(2)[/size]
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[size=3]由(1)，(2)，b + 2c = √5 [/size]
[size=3]等號成立之條件: b/c = 1/2 (由(2))，且A位於短軸端點 (由(1))。[/size]
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[size=3]以上條件恰決定一三角形:[/size]
[size=3]AB = AC =1，BC = 4/√5 (AD = 1/√5)[/size]
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