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cefepime 發表於 2014-9-14 00:15

請教一題不等式

[size=3]x, y, z >0。試證: 1/(1+ x/y + y/z) + 1/(1+ y/z + z/x) +  1/(1+ z/x + x/y ) ≤ 1 。[/size]
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[size=3]舉例: (x,y,z) = (1,1,2) 時，1/(1+ 1 + 1/2) + 1/(1+ 1/2 + 2) +  1/(1+ 2 + 1 ) = 2/5 + 2/7 + 1/4 ≤ 1 。[/size]

thepiano 發表於 2014-9-14 08:48

回復 1# cefepime 的帖子

令\(\frac{x}{y}={{a}^{3}},\frac{y}{z}={{b}^{3}},\frac{z}{x}={{c}^{3}}\)，則\(abc=1\)
\(\begin{align}
  & \frac{1}{1+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}}=\frac{1}{abc+{{a}^{3}}+{{b}^{3}}}\le \frac{1}{abc+{{a}^{2}}b+a{{b}^{2}}}=\frac{1}{ab\left( a+b+c \right)}=\frac{c}{a+b+c} \\
& \frac{1}{1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}}\le \frac{a}{a+b+c} \\
& \frac{1}{1+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}}\le \frac{b}{a+b+c} \\
& \frac{1}{1+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}}+\frac{1}{1+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}}+\frac{1}{1+\frac{z}{x}+\frac{x}{y}}\le 1 \\
\end{align}\)

cefepime 發表於 2014-9-14 21:18

[size=3]太神妙了，謝謝鋼琴老師的高解!![/size]
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[size=3]不知道變數代換的"靈感"來自何處?[/size]

thepiano 發表於 2014-9-15 08:38

回復 3# cefepime 的帖子

由\(\frac{x}{y}\times \frac{y}{z}\times \frac{z}{x}=1\)
把分母的1用abc替換，為了得到a+b+c及滿足不等關係，所以假設為立方數

cefepime 發表於 2014-9-15 14:34

[size=3]鋼琴老師的洞察力令在下難望項背!![/size]
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[size=3]感謝~[/size]

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