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快樂的秘訣,不是做你所喜歡的事,
而是喜歡你所做的事。

starfish 發表於 2014-8-26 17:54

廣義角相關題目

1.
設\( sin^3 \theta+cos^3 \theta=1 \),則\( sin \theta+cos \theta= \)[u]  [/u],而\( sin^4 \theta+cos^4 \theta= \)[u]  [/u]。
2.
(1)\( cos 0^{\circ}+cos 2^{\circ}+cos 4^{\circ}+\ldots+cos 358^{\circ}+cos 360^{\circ}= \)[u]  [/u]。
(2)\( \displaystyle \frac{1}{2}sin90^{\circ}+\left( \frac{1}{2} \right)^2 \cdot sin 2 \cdot (90^{\circ})+\ldots+\left( \frac{1}{2} \right)^{11} \cdot sin 11 \cdot (90^{\circ})= \)[u]  [/u]。
3.
設\( S=\{\; \theta_n |\; \theta_n=n(30^{\circ},n \in Z,50 \le n \le 100) \}\; \),則S中有[u]  [/u]個角為第二象限。

tsyr 發表於 2014-8-26 18:13

回復1#starfish的帖子

1. 令sin(theta)=x,cos(theta)=y
x^3+y^3=1=(x+y)(x^2+y^2)-xy(x+y)=(x+y)(1-xy)
x^2+y^2=1=(x+y)^2-2xy
再令x+y=a,xy=b,可得聯立方程式
a(1-b)=1,a^2-2b=1,
後式代入前式解a可得a=1或-2(-2不合)
因此a=[color=Red]x+y=1[/color]
再由(x+y)(x^3+y^3)=x^4+y^4+xy(x^2+y^2)
因此[color=Red]x^4+y^4=1[/color]
補充:一直下去可得對所有正整數n,x^n+y^n=1

2. (1)注意cos(x)=-cos(180度-x)和cosx=cos(-x)
    (2)注意sin(90度)=1,sin(180度)=sin(360度)=0,sin(270度)=-1(四個一循環)
        再用等比數列即可

3.第二象限角為30度的倍數且在0~360度之間的只有120和150度
   120=30*4,150=30*5,360=30*12
   所以n=12a+4或12a+5(其中a為非負整數)
   在50~100共有9個

[[i] 本帖最後由 tsyr 於 2014-8-26 06:26 PM 編輯 [/i]]

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