回復 20# czk0622 的帖子
czk0622老師您這招也是淺顯易懂阿!!鋼琴老師的解法也好厲害!
我當初在寫的時候完全想不到這些呀=_=...
只想說，看了一下發現其他組合好像沒辦法，就猜下去了XD... 這張考卷複試大概幾分可以進？ 再請教各位老師:
填充題I的第11題.
還有對於填充I的第四題我有個小小的疑問,如何能確定
x=4不是f(x)=0的重根?這對答案有影響嗎?
感謝各位的不吝指導!謝謝!
回復 23# vicky614 的帖子
第11題：利用根與係數，令兩正整數根\(\alpha ,\beta \), 則 \(\left( \alpha +\beta \right)-2\alpha \beta =-7\Rightarrow \left( 2\alpha -1 \right)\left( 2\beta -1 \right)=15\)
則數對\(\left( \alpha ,\beta \right)\)為\(\left( 2,3 \right)\)或\(\left( 1,8 \right)\)的組合
故\(a=\alpha \beta -4\) 可能值為 4 或 2
第4題覺得題目應該要加上"不相等之實根和"為576應該比較嚴謹，
不然如vicky614網友所提，重根會有點麻煩，
例如函數 \(f\left( x \right)={{\left( x-4 \right)}^{2}}\left( x-3 \right)\left( x-5 \right)\)恆滿足 \(f\left( 8-x \right)=f\left( x \right)\)且實根和為16, 但是卻只有3個不相等實根
不知道其他網友有沒有其他看法討論一下 聽說最低要65分 填充II-2
一骰子丟三次，出現的點數依次為\(a\)、\(b\)、\(c\)，則\(\displaystyle \frac{b+c}{a}+\frac{a+c}{b}+\frac{a+b}{c}=6\)的機率為[u] [/u]。
[另解]
(琴生不等式)
令s=a+b+c , f(x)= (s-x)/x
則(b+c)/a + (c+a)/b +(a+b)/c = (s-a )/a + (s-b)/b + (s-c)/c
易知f(x)在(0,s)為遞減函數
由琴生不等式可知
[f(a)+f(b)+f(c)] /3 >= f( (a+b+c)/3 ) =f(s/3)
[ (s-a )/a + (s-b)/b + (s-c)/c] /3 >=[ s- s/3] / (s/3) =2
所以 (s-a )/a + (s-b)/b + (s-c)/c >=6
等式成立表示a=b=c
....
第一大題第10題
\(a,b,c,x,y,z\)均為實數，若\(a^2+b^2+c^2=2\)，\(x^2+y^2+z^2=7\)，則\(\left| \matrix{b+c&c+a&a+b\cr y+z&z+x&x+y \cr 5&4&3} \right|\)的最大值為[u] [/u]。[解答]
這一題還滿巧妙的，即使一開始就鎖定要用平行六面體體積來解，
也得要有點技巧才能轉成相關的型式:
將5改寫為2+3；將4改寫為3+1；將3改寫為1+2；
再利用行列式的分配律拆解成8個行列式，其中有6個因為有兩行相同，行列式為0，
剩下兩個行列式相同，若其值為正的話，
恰為由(a,x,1)，(b,y,2)，(c,z,3)三向量所展成的平行六面體體積，
又已知三向量的長度分別為根號2、根號7、根號14，
故體積小於等於14，乘以2之後等於28。
因為不太會用符號，所以都用文字，傷到眼睛不好意思。
回復 27# linteacher 的帖子
殺雞焉用牛刀 請教填充II,第一題(2),謝謝. 用湊的比較好算回復 29# vicky614 的帖子
小弟會用長除法，除個兩三次就知道答案了 請教填充1 : 3還有填充1: 8 ; 這題不就算x^2+y^2>1與(x-1)^2+(y-1)^2<1 的面積 ? 我的答案是2-(pi/2), 不知錯哪裡
謝謝
回復 32# arend 的帖子
第3題\(\langle\;a_n\rangle\;\)、\(\langle\;b_n\rangle\;\)為兩個公差不為0的等差數列，若\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{4}{3}\)，則\(\displaystyle \lim_{n\to \infty}\frac{a_1+a_2+\ldots+a_{3n}}{nb_n}=\)[u] [/u]。
[解答]
設\(\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle \)之公差為\({{d}_{1}}\)，\(\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle \)之公差為\({{d}_{2}}\)
由\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_{n}}}=\frac{4}{3}\)可知\({{d}_{1}}=\frac{4}{3}{{d}_{2}}\)
……
第8題
在\(xy\)平面上，則不等式\(\sqrt{x}\sqrt{y}(x^2+y^2-1)(x^2+y^2-2x-2y+1)\le 0\)的圖形區域面積為[u] [/u]。
[解答]
考慮
\(\begin{align}
& x\ge 0 \\
& y\ge 0 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\ge 1 \\
& {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 1,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 1 \\
\end{align}\) [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-8-15 07:38 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11861&ptid=2022][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第3題
設\(\left\langle {{a}_{n}} \right\rangle \)之公差為\({{d}_{1}}\)，\(\left\langle {{b}_{n}} \right\rangle \)之公差為\({{d}_{2}}\)
由\(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{a}_{n}}}{{{b}_ ... [/quote]
謝謝piano老師, 第8:我漏算了第二部分 能否請教一下填充第一大題第4題以及第12題
謝謝! 第4題
對任意實數\(x\)，若函數\(y=f(x)\)恆滿足\(f(8-x)=f(x)\)，且方程式\(f(x)=0\)之實根和為576，則方程式\(f(x)=0\)恰有[u] [/u]個不等實根。
[解答]
\(f\left( 8-x \right)=f\left( x \right)\)
令\(x=4+t\)
\(f\left( 4-t \right)=f\left( 4+t \right)\)表示\(y=f\left( x \right)\)的圖形關於\(x=4\)對稱
所求\(=\frac{576}{4}=144\)
第12題
\(m\)為實數，已知四次方程式\(3x^4-4mx^3+1=0\)無實根，求\(m\)的範圍[u] [/u]。
[解答]
\(\begin{align}
& f\left( x \right)=3{{x}^{4}}-4m{{x}^{3}}+1 \\
& f'\left( x \right)=12{{x}^{3}}-12m{{x}^{2}}=12{{x}^{2}}\left( x-m \right)=0 \\
\end{align}\)
故\(f\left( 0 \right)和f\left( m \right)\)為\(f\left( x \right)\)之極值
由於\(f\left( x \right)=0\)無實根
\(\begin{align}
& f\left( 0 \right)=1>0 \\
& f\left( m \right)=3{{m}^{4}}-4{{m}^{4}}+1>0 \\
& -1<m<1 \\
\end{align}\) [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-8-19 08:47 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11880&ptid=2022][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
第4題
\(f\left( 8-x \right)=f\left( x \right)\)
令\(x=4+t\)
\(f\left( 4-t \right)=f\left( 4+t \right)\)表示\(y=f\left( x \right)\)的圖形關於\(x=4\)對稱
所求\(=\frac{576}{4}=144\)
第12題
\(\begin{alig ... [/quote]
感謝piano老師詳細的解說,
本來第12題想用y=3x^4 +1 以及 y=4mx^3 來作圖求解,還是卡住... 請教填充II,第四題
我始這樣想:期望值=n*(1/n^2)+(n-1)*(3/n^2)+(n-2)*((3^2-2^2)/n^2)+....+0
不知這樣是否正確? 答案也求不出來
謝謝 第二大題第4題
靶上有\(n\)個同心圓\(C_i(i=0,1,2,3,\ldots,n)\)，\(C_0\)表示這些同心圓的圓心，其半徑分別為0、\(\displaystyle \frac{1}{n}\)、\(\displaystyle \frac{2}{n}\)、\(\ldots\)、\(\displaystyle \frac{n}{n}\)。射擊一次，若擊中\(C_{i+1}-C_i\)地帶，則可得\((n-i)\)元\((i=0,1,2,3,\ldots,n-1)\)。假設整個靶面恰分成此\(n\)個地帶，射中靶面時必落在此\(n\)個地帶其中之一，則射擊一次(射擊都不會落在靶外)所獲利的期望值為[u] [/u]元。
[解答]
回復 39# thepiano 的帖子
謝謝piano老師我昨天可能計算出錯了
在一次謝謝你