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任何事情都有好的一面,
現在放棄就看不見了。

tsyr 發表於 2014-8-6 19:20

圓的問題

座標平面上,點(a,b)在圓x^[size=2]2[/size]+y^2=1上,點(c,d)在圓(x-2)^2+(y-2)^2=4上,則(ad-bc)^2之最大值為____________。

[[i] 本帖最後由 tsyr 於 2014-8-6 07:22 PM 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2014-8-6 20:46

回復 1# tsyr 的帖子

\(\begin{align}
  & {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=1 \\
& {{\left( c-2 \right)}^{2}}+{{\left( d-2 \right)}^{2}}=4 \\
&  \\
& {{\left( 2a-2b \right)}^{2}}\le \left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\left[ {{2}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}} \right]=8 \\
& 2a-2b\le 2\sqrt{2} \\
&  \\
& {{\left[ a\left( d-2 \right)-b\left( c-2 \right) \right]}^{2}}\le \left[ {{a}^{2}}+{{\left( -b \right)}^{2}} \right]\left[ {{\left( d-2 \right)}^{2}}+{{\left( c-2 \right)}^{2}} \right]=4 \\
& ad-bc-\left( 2a-2b \right)\le 2 \\
& ad-bc\le 2+2\sqrt{2} \\
& {{\left( ad-bc \right)}^{2}}\le 12+8\sqrt{2} \\
\end{align}\)

等號成立於\(a=-b=\frac{\sqrt{2}}{2},c=d=2+\sqrt{2}\)

tsyr 發表於 2014-8-6 21:26

我懂了
謝謝鋼琴老師
忘記說這題是101學科能力競賽區預賽試題

thepiano 發表於 2014-8-6 21:28

回復 3# tsyr 的帖子

也可以這樣做
\(\begin{align}
  & a=\cos \alpha ,b=\sin \alpha ,c=2+2\cos \beta ,d=2+2\sin \beta  \\
&  \\
& ad-bc=2\cos \alpha -2\sin \alpha +2\left( \sin \beta \cos \alpha -\cos \beta \sin \alpha  \right) \\
& =2\sqrt{2}\sin \left( \frac{\pi }{4}-\alpha  \right)+2\sin \left( \beta -\alpha  \right) \\
& \le 2\sqrt{2}+2 \\
&  \\
& {{\left( ad-bc \right)}^{2}}\le 12+8\sqrt{2} \\
\end{align}\)

等號成立的條件同上

tsusy 發表於 2014-8-6 22:01

回復 1# tsyr 的帖子

給個另解. \( |ad-bc| \) 是平行四邊形面積,或是以 \( (0,0), (a,b), (c,d) \) 為的頂點的三角形的兩倍面積。

不難得到 \( \sqrt{c^2+d^2} \) 有最大值且該三角形在原點的角為直角時有面積有最大值。

tsyr 發表於 2014-8-6 22:09

柯西好用
圓的參數式
再加上幾何解法
真是個好題目

cefepime 發表於 2014-8-7 01:05

[size=4](ad - bc)² 之最大值[/size]

[size=4]=(bd - ac)² 之最大值 (由於 x² + y² = 1 對稱於 x = y;或者說因 (x-2)² + (y-2)² = 4 對稱於 x = y 亦可[/size][size=4])[/size]

[size=4]=(bd + ac)² 之最大值 (由於 x² + y² = 1 對稱於 y 軸)[/size]

[size=4]因此題意即,在兩圓上分別有P,Q兩點,求向量OP與OQ內積平方之最大值(O為原點)[/size]

[size=4]明顯地,取Q為離O最遠之點,P與O,Q共線即可:[/size]
[size=4]
[/size][size=4]所求 = [1*(2+2√2)]² = 12+8√2[/size]
[size=4]
[/size]
[size=4][/size]
[size=4](感覺題目所求的"平方",有些多餘。)[/size]
[size=4]
[/size][size=4]
[/size]

[[i] 本帖最後由 cefepime 於 2014-8-7 01:15 AM 編輯 [/i]]

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