高中數學一題（三倍角公式的應用）
求滿足方程式y = 4(x^3) - 3x
{ z = 4(y^3) - 3y 的實數 x,y,z.
x = 4(z^3) - 3z
答案為(x,y,z) = (cos Θ , cos 3Θ , cos 9Θ ) , a = kπ/13 或 kπ/14 k = 0 ,1,2,....13 三倍角公式
cos3x=4(cosx)^3-3cosx
假設x=cosΘ[b] (但問題是，x的範圍限制在-1和1之間嗎?)
[/b]則可推得x，y，z之值分別為cos Θ , cos 3Θ , cos 9Θ
但最後一個式子得到 x=cos 27Θ=cosΘ
解出Θ即可
這是其中一組解
應該還有其他組~~!? 求滿足方程組\( \displaystyle \cases{y=4x^3-3x \cr z=4y^3-3y \cr x=4z^3-3z} \)的實數\( (x,y,z) \)。
(北京市1990年奧賽集訓題)
分析：
方程組中的每一個方程式類似於三倍角公式\( cos 3 \alpha=4 cos^3 \alpha-3 cos \alpha \)。這就給我們提供了數學模型，但\( |\; x |\; \)、\( |\; y |\; \)、\( |\; z |\; \)均不能大於1。
解：
若\( |\; x |\;>1 \)，由\( y=4x^3-3x=x^3+3x(x^2-1) \)，知\( |\; y |\; > |\; x |\; \)，同理\( |\; z |\;>|\; y |\; \)，\( |\; x |\;>|\; z |\; \)，則互相矛盾，所以\( |\; x |\; \)、\( |\; y |\; \)、\( |\; z |\; \)均小於等於1，設\( x=cos \theta \)，\( \theta \in \left[ 0, \pi \right] \)，則原方程式可化為\( \displaystyle \cases{y=cos 3 \theta \cr z=cos 9 \theta \cr x=cos 27 \theta} \)即\( cos \theta=cos 27 \theta \)。
解方程式\( cos \theta-cos 27 \theta=0 \)。\( sin 13 \theta sin 14 \theta=0 \)。\( sin 13\theta=0 \)或\( sin 14\theta=0 \)，\( \displaystyle \theta=\frac{k \pi}{13} \)，\( k=0,1,2,\ldots,13 \)，\( \displaystyle \theta=\frac{k \pi}{14} \)，\( k=1,2,\ldots,13 \)。
∴\( (x,y,z)=(cos \theta,cos 3 \theta,cos 9 \theta) \)共27個解。
103.8.7補充類題
這些都是輪換的聯立方程式，可是解法卻差很多，你能否比較其中的差異呢？
為什麼前面的題目知道用三角函數代換，而接下來的題目卻不用？那你能不能判斷什麼時候要用三角函數什麼時候不用？不用三角函數的話還有什麼方法可以解這類聯立方程式？
若\( \cases{\displaystyle x=\frac{12z^2}{1+36z^2} \cr y=\frac{12x^2}{1+36x^2} \cr z=\frac{12y^2}{1+36y^2}} \)，則\( x+y+z= \)
(101中正高中，[url]https://math.pro/db/thread-1422-1-1.html[/url])
解方程組\( \displaystyle \cases{1+x^2=2y \cr 1+y^2=2z \cr 1+z^2=2x} \)。
103.8.28補充
求聯立方程組\( \cases{\displaystyle x+\frac{1}{x}=y \cr y+\frac{1}{y}=z \cr z+\frac{1}{z}=x} \)之實數解。
(88全國高中數學能力競賽(二)台南一中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=680&page=3#pid9514[/url])
109.5.23補充
已知實數\(a,b,c\)滿足\(\cases{a(4-b)=4 \cr b(4-c)=4 \cr c(4-a)=4}\)，則\(a+b+c=\)[u] [/u]。
(109中正預校，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=3325&page=3#pid21184[/url])
111.3.22補充
設\(a,b,c\)皆為整數，試求滿足方程組\(\cases{ab+5=c \cr bc+1=a \cr ca+b=1}\)的所有解\((a,b,c)=\)[u] [/u]。
(110高中數學能力競賽第四區筆試二，[url]https://math.pro/db/thread-3612-1-1.html[/url]) bugmens真是資料豐富，博學多聞!
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