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你未必出類拔萃,但肯定與眾不同。

bch0722b 發表於 2014-7-31 18:35

2014 KIMC的一題數論

已知
a[size=3]I[/size]2c+1
b[size=3]I[/size]2a+1
c[size=3]I[/size]2a+1
求a+b+c的max?
答案為53,但希望能有證明,畢竟是湊的。

[[i] 本帖最後由 bch0722b 於 2014-7-31 07:50 PM 編輯 [/i]]

tsyr 發表於 2014-7-31 19:46

答案是53吧!?

順便附上幾題kimc(2014青少年數學國際城市邀請賽)
有興趣的來做吧
1. 若 p、q、r 與 s 為互不相同的質數,滿足 p + q + r + s也是質數,且 p^2 + qr與 p^2 + qs都是完全平方數,請問 p + q + r + s的值為多少?
答:23

2.整數 n 使得9n^2 + 23n − 2可以表示為兩個相鄰的正偶數的乘積,請問所有這樣的整數n 之和為多少?
答: -15

3.若正整數a、b與c滿足2b + 1能被a整除,2c + 1能被b整除,2a + 1能被c整除,請問a + b + c的最大值為?
答:53

4. 若正整數 n 小於100 且恰有4 個正因數,並滿足其中兩個因數之和減去另外兩個因數之和所得的差為一個完全平方數,請求出所有這樣的正整數n。
答:6, 8, 10, 15, 21, 26, 27, 34, 35, 51, 57, 74, 85 and 93
(怎麼那麼愛考數論?)

5.某家韓國餐廳有魚湯、牛肉湯與人參雞湯這三種湯供應,但每天只供應其中一種湯,並且人參雞湯不能連續三天或三天以上供應。請問7 天的菜單中共有多少種不同的樣式?
答:1892(依人參雞湯的天數分開討論)

6.圓心分別為點 O 與點P 的兩個圓相交於A與B兩點。OB的延長線交第二個圓於點C,PB的延長線交第一個圓於點D。過點B 且與CD 平行的直線交第一個圓於點 Q(Q ≠ B)。證明:AD = BQ。
(這題不難,觀察C,D,O,P四點共圓即可,下面有附圖)

7.在四邊形 ABCD 中,∠BDA =10°,∠ABD = ∠DBC = 20°與∠BCA = 40°。請問∠BDC為多少度?
(下面附圖2,可用三角函數爆開,但目前尚未發現純幾何解法)
答案為20度

8.求m+n。考試中的第一題,在下面附圖3。這題我是把1/2,1/3,1/4,1/5,1/6當作五個根,構造五次方程式再利用根與係數就可輕鬆得出答案為5/6(m+n=5+6=11)

[[i] 本帖最後由 tsyr 於 2014-7-31 08:17 PM 編輯 [/i]]

cefepime 發表於 2014-8-3 20:41

[size=4]一樓的題目似有打錯,我用二樓的條件試做答。[/size]
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[size=4]已知正整數 a、b 與 c 滿足
[/size]
[size=4]
[/size]
[size=4]a I 2b+1
b I 2c+1
[/size]
[size=4]c I 2a+1
[/size]
[size=4]
[/size]
[size=4]求 a+b+c 的最大值。[/size]
[size=4]
[/size]
[size=4]解:[/size]
[size=4]
[/size]
[size=4]基於題目的對稱性,不妨設 a ≥ b 且 a ≥ c。[/size]
[size=4]
[/size]
[size=4]1. 若 a = b,則 [color=red][color=black](a,b,c) =[/color] (1,1,1)[/color][/size]
[size=4]
[/size]
[size=4]2. 若 a > b,則 a = 2b+1,且[/size]
[size=4]b I 2c+1
[/size]
[size=4]c I 4b+3[/size]
[size=4]
[/size]
[size=4]2-1[/size]
[size=4]若 b = c,則 [color=red][color=black](a,b,c) =[/color] (3,1,1)[/color][/size]
[size=4]
[/size]
[size=4]2-2[/size]
[size=4]若 b > c,則 b = 2c+1,且[/size]
[size=4]c I 8c+7,即 c I 7[/size]
[size=4]依題意目的,C取最大者,則 (a,b,c) = [color=red](31,15,7)[/color][/size]
[size=4]
[/size]
[size=4]2-3
[/size]
[size=4]若 b < c,則 4b+3 = 3c (=c 時,則 a < c, 違反討論前提)[/size]
[size=4]由 b I 2c+1[/size]
[size=4]3b I 6c+3[/size]
[size=4]3b I 8b+9[/size]
[size=4]則 (a,b,c) = [color=red](19,9,13)[/color][/size]
[size=4]
[/size]
[size=4]比較得: (a,b,c) = (31,15,7) 時,a+b+c 有最大值 53。[/size]

bch0722b 發表於 2014-8-4 20:53

哇!!厲害厲害~~

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