拉馬努金的無窮根號問題
求下面根式的值\( \sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \)
這題好像要用數學歸納或夾擠定理之類的......
但我想不出來
於是算了前面幾項
考慮越多項則值越趨近於4
於是我認為答案為4 \(\begin{align}
& 4 \\
& =\sqrt{16} \\
& =\sqrt{6+10} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{25}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+18}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{36}}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+28}}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{49}}}} \\
& =\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \\
\end{align}\) 佩服!不愧是鋼琴老師
所以如果這題出在"計算證明題"中
只要寫出倒推的算式就可以了嗎?
還是要另外證明此步驟可以無窮延續下去? 計算題的話，可用數學歸納法證明
\(\sqrt{\left( n+1 \right)+\left( n-3 \right)\sqrt{\left( n+2 \right)+\left( n-2 \right)\sqrt{\left( n+3 \right)+\left( n-1 \right)\sqrt{\left( n+4 \right)+\cdots }}}}=n-1\) 原來如此~~
謝謝老師 這是拉馬努金的貢獻,改天我再來整理關於他的資料
105.5.28補充
拉馬努金的手稿，[url]http://www.imsc.res.in/~rao/ramanujan/NotebookFirst.htm[/url]
[attach]2505[/attach]
可以看到拉馬努金所寫下的
\( 3=1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots }}}} \)
\( 4=1\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \)
數學傳播的文章
探求 「無限」 奧秘的數學家 一一 Srinivasa Ramanujan (上)
[url]http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d273/27307.pdf[/url]
探求 「無限」 奧秘的數學家 一一 Srinivasa Ramanujan (下)
[url]http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d274/27405.pdf[/url]
底下的無窮根號.pdf提供了解法
(1)
令\(f(n)=n(n+2)\)
\(f(n)=n \sqrt{(n+2)^2}\)
\(=n\sqrt{n^2+4n+4}\)
\(=n\sqrt{1+(n+1)(n+3)}\)
\(=n\sqrt{1+f(n+1)}\)
反覆代入得到
\(n(n+2)=n \sqrt{1+(n+1)\sqrt{1+(n+2)\sqrt{1+(n+3)\sqrt{1+(n+4)\sqrt{1+\ldots}}}}}\)
\(n=1\)代入得到
\( 3=1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots }}}} \)
(2)
令\( f(n)=n(n+3) \)
\( f(n)=n \sqrt{(n+3)^2} \)
\( =n \sqrt{n^2+6n+9} \)
\( =n \sqrt{(n+5)+(n+1)(n+4)} \)
\( =n \sqrt{(n+5)+f(n+1)} \)
反覆代入得到
\( f(n)=n \sqrt{(n+5)+(n+1)\sqrt{(n+6)+(n+2)\sqrt{(n+7)+(n+3)\sqrt{(n+8)+\ldots}}}} \)
\( n=1 \)代入得到
\( 4=1\sqrt{6+2\sqrt{7+3\sqrt{8+4\sqrt{9+\cdots }}}} \)
110.3.23補充
用Geogebra 動態展示拉馬努江的迭代根式，[url]https://www.youtube.com/watch?v=shROhDfZJzw[/url] 哇!好壯觀呀!
原來這題有這樣的歷史...... 一個類似題：
證明 \(\displaystyle \sqrt{25-4\sqrt{36-4\sqrt{49-4\sqrt{64-4\sqrt{81-4\sqrt{\cdots}}}}}}=3\)
[attach]2577[/attach] 4月26日是印度天才數學家拉馬努金的逝世周年日，游森棚教授寫了一篇關於拉馬努金的文章
彗星般的天才數學家—拉馬努金
[url]http://www.cw.com.tw/article/article.action?id=5075951[/url]
另類證明
小弟想用一次方的來證明看看結果有想到一個統一的小證明 [size=5]印度來的奇蹟[/size][url]http://scimonth.blogspot.tw/2010/09/blog-post_23.html[/url]
作者／游森棚
這個月數學界的焦點會在印度，因為四年一度的國際數學家大會（International Congress of Mathematicians, ICM）今年（2010 年）8 月將在印度舉行。
內行人看門道，外行人看熱鬧。數學的深刻和嚴肅面離一般人太遠，所以大多數人最期待的是四年一次在國際數學家大會頒發，號稱數學界諾貝爾獎的費爾茲獎會落在誰身上。網路上有很多的猜測，我當然也有猜測，但這期雜誌印出來時，應該已經公布名單了，所以猜測就留在心裡了。但談到印度，又談到數學，數學家拉瑪努金（Srinivasa Aiyangar Ramanujan）的故事立刻浮上心頭。這個已故數學家的軼事多采多姿，天分極為不凡，生命軌跡獨一無二，因此這個月的專欄，藉由ICM 在印度舉辦的聯想，我們就來一窺拉瑪努金奇蹟式的數學人生。
拉瑪努金只上過非常短時間的大學（大一因為英文不好，沒拿到獎學金而輟學），可以說沒有受過專業數學訓練。他所有的數學知識，來自於他15歲在圖書館借到的一本數學公式集《純數學摘要》（Synopsis of Pure Mathematics）。這本書上條列了數千個公式與定理，想也知道一本書有數千個公式，一定是不講原因，沒有證明的。但拉瑪努金用自己的方法理解了這本書，而也因為啟蒙書是這樣的風格，拉瑪努金接下來憑著極高的天分，單獨發現了許多定理，寫下來後也都是這樣的風格：一條又一條令人炫目的結果，而且只有結果，沒有理由。
所以，也無怪乎英國數學家哈第（G. H.Hardy）在1913年接到拉瑪努金一封九頁長的信後，目瞪口呆的反應。在那封信上，拉瑪努金寫滿了他發現的「定理」——都只有結果，沒有理由，沒有證明。其中一個是這樣(為了容易說明，此處挑選不需要特別解釋符號的一個)：\( \displaystyle 1-5\left( \frac{1}{2} \right)^3+9 \left( \frac{1 \times 3}{2 \times 4} \right)^3-13 \left( \frac{1 \times 3 \times 5}{2 \times 4 \times 6} \right)^3+\ldots=\frac{2}{\pi} \)
這種無厘頭的式子寫滿了一頁又一頁，那時候沒有電腦可以模擬，沒有網路可以查，只能手算看對不對。但是這些式子一個比一個複雜，又沒有理由跟證明，莫怪乎哈第起先以為是惡作劇！（也莫怪乎之前拉瑪努金寫給其他兩位數學家，都被退信）。總算是老天有眼，哈第讀了信，不讀則已，讀後大驚失色，信裡面有一些連他都無法想像的正確等式。慧眼識英雄，於是他想辦法在1914年把拉瑪努金接到英國，兩個人密切合作得到了豐富的數學成果。但是很不幸，也許因為英國潮溼陰冷的冬天讓拉瑪努金水土不服，他1916年生病後一直沒好，1919年為了養病回到印度，隔年就過世了。
拉瑪努金對數字的敏感使得他在數論上有許多重要的貢獻。哈第和拉瑪努金合作的重要成果之一是給出了分割數（partition number）\(p(n)\)的漸近公式。\(p(n)\)是把\(n\)寫成正整數和的方法（順序不計），例如\(p(4)=5\)，因\(4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1\)；又例\(p(10)=42\)等。看來不怎樣，但讀者如果還記得本刊2009年10月號組合數學的封面故事，應該有印象\(p(n)\)是多麼不可預測，且\(p(n)\)的公式有多困難。很難想像\(p(100)\)可以等於190569292，而\(p(1000)\)可以多到誇張——\(p(1000)=24061467864032622473692149727991\)。
在1918年哈第和拉瑪努金得到︰\( \displaystyle p(n)\sim \frac{e^{\pi}\sqrt{\frac{2n}{3}}}{4n \sqrt{3}} \)
另外一個和\(p(n)\)有關的是，拉瑪努金發現\(p(n)\)有一些倍數關係。讀者可以觀察下表，看看能不能猜到：
[table=100%]
[tr][td][align=center]\(n\)[/align][/td][td][align=center]0[/align][/td][td][align=center]1[/align][/td][td][align=center]2[/align][/td][td][align=center]3[/align][/td][td][align=center]4[/align][/td][td][align=center]5[/align][/td][td][align=center]6[/align][/td][td][align=center]7[/align][/td][td][align=center]8[/align][/td][td][align=center]9[/align][/td][td][align=center]10[/align][/td][td][align=center]11[/align][/td][td][align=center]12[/align][/td][td][align=center]13[/align][/td][/tr]
[tr][td]\(p(n)\)[/td][td][align=center]1[/align][/td][td][align=center]1[/align][/td][td][align=center]2[/align][/td][td][align=center]3[/align][/td][td][align=center]5[/align][/td][td][align=center]7[/align][/td][td][align=center]11[/align][/td][td][align=center]15[/align][/td][td][align=center]22[/align][/td][td][align=center]30[/align][/td][td][align=center]42[/align][/td][td][align=center]56[/align][/td][td][align=center]77[/align][/td][td][align=center]101[/align][/td][/tr]
[/table]
拉瑪努金說，不管\(k\)是多少， \(p(5k+4)\)一定是5 的倍數，\(p(7k+5)\)一定是7 的倍數，\(p(11k+6)\)一定是11的倍數。附帶一提，讀者也許說，這看起來也沒什麼，看來有規則不是嗎？也許\(p(13k+1)\)或\(p(13k+2)\)、\(p(13k+3)\)、……、\(p(13k+12)\)、\(p(13k)\)，反正總有一個一定是13的倍數，不是嗎？錯！上面任何一個都不會一直是13的倍數。那到底有沒有\(a\)、\(b\)讓\(p(ak+b)\)永遠是13的倍數？答案是有的。在1960年才由數學家阿特金（A. O. L. Atkin）找到：不管\(k\)是多少，\(p(17303k+237)\)是13 的倍數！
還有一個重要的結果，現在稱為羅傑-拉瑪努金等式(Rogers-Ramanujan identities)。它在數學的分支「表現理論」，甚至「理論物理」中都是重要的。原始的羅傑-拉瑪努金等式有兩個，其中一個是：\( \displaystyle 1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{{q^k}^2}{(1-q)(1-q^2)\ldots(1-q^k)}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{1}{(1-q^{5k+1})(1-q^{5k+4})} \)
數學家舒爾(Issai Schur)給了分割數的解釋；「把\(n\)分割，但是任兩部分的差都至少要是2的方法數」，會等於「把\(n\)分割，但是每一個部分都長得像是\(5k+1\)和\(5k+4\)的方法數」。比如6的分割，前者有\(6=5+1=4+2\)這三種方法，後者有\( 6=4+1+1=1+1+1+1+1+1 \)這三種方法。這樣一個簡單的解釋為什麼會是對的，卻難倒了眾多數學家，直到1980年才有第一個複雜的解釋，2006年才有一個還算滿意的解釋，但到現在都還是數學家關注的焦點之一。
數以千計的數學家有系統地介紹和證明拉瑪努金的定理，出版成套書Ramanujan's Notebooks，一共好幾巨冊，中研院數學所就有一整套。神奇天才的故事永遠受人歡迎，拉瑪努金的故事在2007年還被演成舞台劇《消失的數字》(A Disappearing Number)，得了不少獎。但是故事永遠不嫌多，1976年數學家安德魯斯(G. Andrews，美國科學院院士，研究分割數的權威)在劍橋三一神學院的圖書館，發現了87張拉瑪努金的手稿，裡面有超過600個新的結果!這件事轟動了數學界，這87張紙被稱為Ramanujan's Lost Notebook。這根本是「四十二章經」，現實生活中的武俠小說情節!1997年，數學界更多了一個學術期刊，名稱就叫做《拉瑪努金》(Ramanujan Journal)，這個期刊旨在發表和拉瑪努金的數學結果有關的學術研究。
到頭來我們總想知道，拉瑪努金怎麼發現這些東西？據哈第的口述，拉瑪努金給了一個無法模仿的答案－－拉瑪努金說，故鄉的女神托夢給他，他早上醒來就把結果寫下來。所以我們只能說，這真是印度來的奇蹟。
但天才到底是怎麼一回事？我個人一直喜歡以下軼事(故事也是來自哈第)的兩個不同解讀觀點。哈第去探病，對病床上的拉瑪努金說，「剛剛坐計程車來，車牌是1729，這真是一個相當無聊的數字。」拉瑪努金馬上說，「你錯了，1729一點也不無聊。1729是能用兩種不同方法寫成兩個正整數立方和的數字中，最小的那一個」。\(1729=1^3+12^3=9^3+10^3\)。讀完這個軼事，一個觀點會是，哇!果然是印度來的神蹟，這真是神啟，拉瑪努金果然是天才。但因為我們都是凡人，我更喜歡另一個觀點：拉瑪努金之所以能馬上回答，是因為之前下過許多功夫－－不要說1729，也許到2000以前的每個數他都曾經鑽研過，所以才能反應得那麼快。
就像哈第對拉瑪努金的描述：「他有超人的記憶力與無比的耐心，而且擅於計算和推廣，對公式有特殊感覺，而且迅速修正自己的假設，這些，讓他成為獨一無二的數學家。」 再補充三題無窮根號的題目
\( 1+2 \sqrt{3}sin20^{\circ}=\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-\ldots}}} \)
\( 1+4sin10^{\circ}=\sqrt{11-2\sqrt{11+2\sqrt{11-\ldots}}} \)
\( 1+4 \sqrt{3}sin20^{\circ}=\sqrt{23-2\sqrt{23+2\sqrt{23+2\sqrt{23-\ldots}}}} \)
\( 1+2\sqrt{3}sin20^{\circ} \)
\( =\sqrt{1+4\sqrt{3}sin20^{\circ}+12sin^2 20^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+4\sqrt{3}sin20^{\circ}-6cos40^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+4\sqrt{3}sin20^{\circ}-4\sqrt{3}cos30^{\circ}cos40^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+4\sqrt{3}sin20^{\circ}-2\sqrt{3}cos70^{\circ}-2\sqrt{3}cos10^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7+2\sqrt{3}cos70^{\circ}-2\sqrt{3}cos10^{\circ}} \)
\( =\sqrt{7-4\sqrt{3}sin30^{\circ}sin40^{\circ}} \)
\( =\sqrt{8-(1+2\sqrt{3}sin40^{\circ})} \)
\( =\sqrt{8-\sqrt{8+(2\sqrt{3}sin80^{\circ}-1)}} \)
\( =\sqrt{8-\sqrt{8+\sqrt{8-(1+2\sqrt{3}sin20^{\circ})}}} \)
利用類似的方法
\( 1+4sin10^{\circ} \)
\( =\sqrt{11-2(1+4sin50^{\circ})} \)
\( =\sqrt{11-2\sqrt{11+2(4sin70^{\circ}-1)}} \)
\( =\sqrt{11-2\sqrt{11+2\sqrt{11-2(1+4sin10^{\circ})}}} \)
\( 1+4\sqrt{3}sin20^{\circ} \)
\( =\sqrt{23-2(4\sqrt{3}sin80^{\circ}-1)} \)
\( =\sqrt{23-2\sqrt{23+2(1+4\sqrt{3}sin40^{\circ})}} \)
\( =\sqrt{23-2\sqrt{23+2\sqrt{23+2(1+4\sqrt{3}sin20^{\circ})}}} \)
出處
[url]https://books.google.com.tw/books?id=oSioAM4wORMC&lpg=PA328&ots=sP1k9YLyri&dq=Ramanujan%20SIN20&hl=zh-TW&pg=PA328#v=onepage&q&f=true[/url]
拉馬努金
[size=3]上述的方法，對我而言技巧性高，讀過易忘。故嘗試模仿其思維，另尋一個較易體會的解題動機。[/size][size=3][/size]
[size=3]由連結文章內容知，題目中令人困惑的 "無窮根號" 形式，其實可由遞迴關係，配合反覆[color=#000000]代入而形成。[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]體認了 "遞迴關係 + 反覆[color=#000000]代入[/color]" 可產生 "無窮xx" 形式，再[/size][size=3]觀察題目式形態，數字，及其規律後，可知: [/size]
[size=3][/size]
[size=3]如果找到一個函數 f (n)，滿足[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=blue]f (n) = √ [ (n+5) + (n+1)*f (n+1) ][/color] (此取法是以題目式的 " √ " 為 "新的起始點"，當然亦有別的取法)[/size]
[size=3][/size]
[size=3]則 f (1) 即為所求 (藉由反覆[color=#000000]代入[/color])。[/size]
[size=3][/size]
[size=3]以下開始求 f (n):[/size]
[size=3][/size]
[size=3]上式平方得 [color=black]f ²(n) = (n+5) + (n+1)*f (n+1)......(#)[/color][/size]
[size=3][color=black][/color][/size]
[size=3]由形態，合理地先嘗試多項式函數，易知 f (n) 次數為1，且可令為 n+a，代回 (#) 式:[/size]
[size=3][/size]
[size=3](n+a)² = (n+5) + (n+1)*(n+a+1)，得 a = 3[/size]
[size=3][/size]
[size=3]即 f (n) = n+3，n∈N，則所求 = f (1) = [color=red]4[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=#ff0000][color=black]當然寫試卷時，逕令 f (n) = n+3 = √ [ (n+5) + (n+1)*f (n+1) ]，n∈N，再反覆[/color][color=#000000]代入即可。[/color][/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]-----------------------------------[/size]
[size=3][/size]
[size=3]再嘗試上述連結中的 8#，站長 weiye 老師提供的類題:[/size]
[size=3][/size]
[size=3]目標: 找到函數 f (n)，滿足:[/size]
[size=3][/size]
[size=3][color=black]f (n) = √ [ (n+4)² - 4*f (n+1) ][/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]平方得 [color=black]f ²(n) = (n+4)² - 4*f (n+1)[/color][/size]
[size=3][/size]
[size=3]類似上題，令 f (n) = n+b，則 (n+b)² = (n+4)² - 4*(n+b+1)，得 b = 2[/size]
[size=3][/size]
[size=3]即 f (n) = n+2，n∈N，則所求 = f (1) = 3[/size]
[size=3][/size] [size=5]籠罩數學家拉馬努金的那些陰影[/size]
[url]https://www.scimonth.com.tw/tw/article/show.aspx?num=4116[/url]
作者／李國偉／中央研究院數學研究所兼任研究員。
今年4月26日是數學史上最神奇的天才拉馬努金的百年忌日，他雖然給世界留下極為豐富的知識遺產，但令人惋惜的是他的生命只有短暫的32年。拉馬努金創造出許多超越同時期數學家的成果，但是因為他的方法顯得比較古老，因此在他身後有一段歲月裡，他的名聲只在專家的圈子裡流傳。
1976年，安德魯斯（George Andrews）在劍橋圖書館發現了拉馬努金遺留的手稿，就像先前公開過的兩大本筆記，這本「遺失的筆記」中寫滿神秘的數學式子卻沒有證明細節，重新引起數學界研究拉馬努金的熱潮。時至今日，拉馬努金的思想甚至花開葉散到統計力學、粒子物理、弦論、電腦代數、密碼學及圖論等領域。對於拉馬努金這種絕世天才的學術成就，常人也許只能膜拜而無力理解，但是做為血肉之軀，天才的人生也難免有各式各樣的陰影，倒讓人們有機會將心比心加以貼近。
[size=3]來自印度不世出的奇才 數學及英語卻成陰影[/size]
印度東南部的商業與行政中心清奈（Chennai），在1996年以前名為馬德拉斯（Madras），是由英國殖民者於17世紀所建立。1913年1月16日，馬德拉斯的一位小職員給英國劍橋大學著名數學家哈代（Godfrey H. Hardy）寄出一封信，首尾分別是這麼寫的：
「請容我自薦如次，在下為馬德拉斯港務信託處會計室職員，年薪僅20 英鎊。今年約23 歲，未受大學教育，但曾就讀一般學校。自畢業之後，利用公餘閒暇鑽研數學。雖未按部就班學習大學正規課程，卻能自闢蹊徑。特別是廣泛研究發散級數，本地數學家咸認所得結果『出人意表』……懇請您審閱所附論文。倘若您確信其中有任何價值，因我貧窮，請助我將定理予以發表。我雖未提供研究詳情與完整結果，然已勾勒出探索的輪廓。又因我缺乏經驗，您能給的任何建議，均將萬分珍惜。」
寫信者拉馬努金出生於1887年12月22日，其實當時他已25歲。這封長達11頁的來信包含約120條公式，哈代與好友李特伍德（John E. Littlewood）徹夜研讀了拉馬努金的結果，從那些奇妙而不知何處導來的式子裡，窺見一位不世奇才的降臨。哈代甚至向羅素（Bertrand Russell）炫耀自己發現了第二個牛頓。
哈代在2 月8 日回覆拉馬努金的信中，催促他趕快寄來完整的證明。拉馬努金在2 月27 日寄給哈代的第二封信中說：
「在目前階段，只希望求得像您如此有聲望的教授，肯定我確有一些價值。我已經是食不果腹的人了，如要保持頭腦存活，我需要食物，也正是目前的首要考慮。您鼓勵我的片語隻字，都有助於我獲得此地大學或政府的獎學金。」
這回拉馬努金又增加一些公式，但仍然沒有提供證明。使得哈代在3月26日的回信裡，甚至做出如下的辯解：
「李特伍德先生提醒我，你不願意提供證明的理由，可能是顧忌我會如何使用你的成果。讓我很坦率向你表白，你手中已經掌握三封我給你的長信，其中我明確地說到你已證明，或者宣稱有能力證明的結果……很顯然如果我企圖不當使用你的成果，你將十分容易揭發我。我相信你會包涵我如此直率地表態：如果我不是真實而迫切地想看到如何協助你謀求更好的機會，使得你能夠一展明顯的數學天賦，我就不會做這一切了。」
拉馬努金對於得出精彩結果的興致，顯然高過記錄推算的步驟。拉馬努金在印度只自學過五本數學書，最主要的是卡爾(George S. Carr)所編寫的《純粹數學初等結果概要》(Synopsis of Pure Mathematics)，此書羅列4865條公式而鮮少附加證明。以拉馬努金的數學天賦，循序漸進確實有可能補足公式成立的道理。他也許從這本書中見聞習染並列出公式，但結果卻都省略證明的步驟過程。而哈代的回信多少有點傷到拉馬努金的自尊，他在4月17日回信給哈代的信中辯解道：
「經李特伍德先生建議而你寫下的表白，有些令我感受刺痛。我一點都不擔憂別人使用我的方法。恰好相反，在過去八年中我掌握了這些方法，卻沒有找到任何能理解的人。在前封信中我表示過，你是位產生共鳴的友人，因此我願意將區區所得，盡皆交付與你。正因為我使用異於尋常的方法，使我即使現在仍怯於傳達我是如何沿著自己的路徑，獲得那些已經告訴過你的結果。不過在這封信裡，我將嘗試給出你們能接受的證明……我的英文純熟程度不佳，以致於很難在整理思路之後，表達成得以見容於你的形式。對於有關質數分布的公式，這次我將嘗試給出證明。」
從拉馬努金的信中可看出，無論是數學或英文他都存在心理上的陰影，所以他特別渴望別人的肯定。其實研判拉馬努金每封信裡數學內容的對錯，都令哈代十分耗費心力，幾乎到1914年底哈代才再次回信，其中說道：
「說實話，質數理論充滿了陷阱，想要克服困難必須經過現代嚴密方法的完整訓練，那是你自然缺乏的。我希望你不要被我的批評喪氣。我認為你的論證非常突出又具創意。你證明了你曾宣稱獲得證明的結果，就已經是整個數學史上最了不起的數學成就了。」
拉馬努金終於找到哈代這位貴人，經由哈代及多方面協助下，1914年4月14日拉馬努金抵達英國，從此展開一段數學史上最傳奇的合作關係。
[size=3]水土不服成為另一道陰影 結果導致英年早逝[/size]
拉馬努金抵達英國不久後就爆發了第一次世界大戰，包括李特伍德在內不少劍橋師生都離校參加抗戰。在這種氛圍裡，拉馬努金除了感覺寂寞，還要適應文化上的差異及英國的寒冷天氣。根據他一位劍橋的印度朋友回憶，他曾看見拉瑪努金在宿舍烤火，便問他睡覺時夠不夠暖和？拉馬努金說有穿大衣裹圍巾。朋友見床上幾層毛毯都平整鋪妥，而上面覆蓋的白布單卻有用過的痕跡。原來拉馬努金不知道英國人的習慣是要把毛毯揭開將身子鑽進去，但他卻蓋著白布單和衣物而眠。
此外，因為拉馬努金堅持素食的習慣，在英國用餐就成為麻煩問題。由於學院餐廳的大廚根本不會做印度式素食，即使他們能烹調一些蔬菜，拉馬努金還嫌鍋具已經沾染過葷油，結果他只好自己準備飯菜。但適合他的食材不要說戰時，即使是平時也不容易在劍橋購得，所以他的營養很難獲得充分補充。另外，劍橋學者主要進行交流的場合是學院餐廳，然而因著拉馬努金的素食習慣，他從來不曾現身餐廳。這也令他更加孤立，從而不時產生沮喪與抑鬱的情緒。拉馬努金甚至經常廢寢忘食鑽研數學30小時，然後蒙頭大睡20小時。這種不利於健康的作息方式，更是逐漸損害了他的身體。
根據哈代的追憶，1917年春季拉馬努金的健康開始出現問題。他在夏季進入劍橋一家療養院，之後就不曾長時間脫離病床。他輾轉住過好幾處療養院，直到1918年秋季病況才有些好轉。這段時間，拉馬努金的心理健康也讓朋友擔心，他甚至在1918年2月跳下倫敦地鐵軌道企圖自殺，幸好列車及時煞住未釀成悲劇。拉馬努金在英國的病歷現在都已不存在，後人只能從友人存留的信件中梳理出一個輪廓。最早醫生懷疑他有消化道潰瘍，後來多半按照肺結核來治療。1918年11月哈代的信中又說，醫生們的共識是他感染了來源不明的膿血症。
1919年2月27日拉馬努金終於登上輪船，告別停留了五年的英國。朋友們都希望他能在印度溫暖天氣及可口食物的調養下，徹底恢復健康。遺憾的是拉馬努金返國後不久宿疾再發，除了斷斷續續的高燒之外，有時還伴隨劇烈的胃痛。雖然他的太太阿瑪爾(S. Janaki Ammal)盡心盡力照顧，仍然不幸英年早逝。治療他的醫生在他過世第二天的日記裡寫下：「如果拉馬努金能遵照我的醫囑，1920年4月26日的死亡其實有可能避免……，他染病初期遭受了輕忽……也許是他周邊的人知識不足的關係……令人悲痛的是，好幾次他告訴我已經喪失活下去的意志，他也告訴我其實自己不應該回印度了。」
拉馬努金生前一直無法確診到底得了什麼病，根據一項1994年的調查研判，他極可能早年感染了肝阿米巴蟲(Amoeba)。以1918年的醫療水準而言，這是一種不易正確診斷的致命熱帶疾病。
拉馬努金在1909年7月14日與9歲的阿瑪爾奉母之命行婚禮。到1912年阿瑪爾進入青春期後，他們才真正同居生活。1984年阿瑪爾曾經告訴研究拉馬努金數學遺產的專家伯恩特(Bruce C. Berndt)，拉馬努金回到印度家中第一句話就說當初應該帶太太去英國，如果有太太在身邊烹飪與照顧，他的飲食與睡眠就不會漫無章法。後期生活中缺乏一個堅實的支撐力量，也許是籠罩拉馬努金人生的最深陰影。而這道陰影也間接導致了拉馬努金的悲劇，他本該閃耀的一生就在此戛然而止。
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