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記住該記住的,忘記該忘記的。
改變能改變的,接受不能改變的

tsyr 發表於 2014-7-27 16:25

聯立方程式

在實數範圍內解下面聯立方程式
\( 3(x^2+y^2+z^2)=1 \)
\( x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=xyz(x+y+z)^3 \)

這題應該有一些不等式的限制吧!
只有兩組解,但我繞來繞去只有得到一些xyz的關係罷了
不知不等式要如何套入

Ellipse 發表於 2014-7-27 17:24

回復 1# tsyr 的帖子

[color=Red]修正一下:當xyz不為0時[/color]
答案是(x,y,z)=(1/3 ,1/3 ,1/3)或(-1/3 ,-1/3 ,-1/3)
[color=Red]當xyz=0時,答案如鋼琴兄所列
[/color]

題意:
3(x²+y²+z²)=1--------------(1)
x²y²+y²z²+z²x²=xyz(x+y+z)^3---------------(2)

[color=Red]當xyz不為0時
[/color]首先觀察(2)式xyz與(x+y+z)^3同正或同負
所以xyz與(x+y+z)同正或同負--------------(*)

由柯西不等式知
(x²+y²+z²)(1²+1²+1²)>=(x+y+z)²-----------(3)
由(1)&(3)可知(x+y+z)²<=1 ----------------(4)

再由柯西不等式知
(x²y²+y²z²+z²x²)(x²z²+y²x²+z²y²)>=(x²yz+xy²z+xyz²)²
(x²y²+y²z²+z²x²)>=xyz(x+y+z)-------------(5)
由(2)&(5)可得xyz(x+y+z)^3>=xyz(x+y+z)
因xyz(x+y+z)>0 (by(*))
兩邊同除以xyz(x+y+z)可得
(x+y+z)²>=1-----------------(6)

由(4)&(6)可知(x+y+z)²=1
所以x+y+z=1或-1

再結合(1)&科西不等式
剩下就容易了
您應該會處理~

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-7-27 09:18 PM 編輯 [/i]]

tsyr 發表於 2014-7-27 17:45

沒有錯

tsyr 發表於 2014-7-27 18:05

謝謝Ellipse老師
這太神了......

thepiano 發表於 2014-7-27 20:59

回復 1# tsyr 的帖子

\(\left( \pm \frac{1}{\sqrt{3}},0,0 \right),\left( 0,\pm \frac{1}{\sqrt{3}},0 \right),\left( 0,0,\pm \frac{1}{\sqrt{3}} \right)\)

tsyr 發表於 2014-7-31 17:04

非常謝謝鋼琴老師提醒
連標準答案都忘記這組了 :)

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