100國家安全情報人員考試－數論
題目下載[url]http://www1c.moex.gov.tw/ExamQuesFiles/Question/100/100180_60930.pdf[/url]一、求出四組滿足方程式\( 35x+55y+77z=1 \)的整數解\( (x,y,z) \)。
[解答]
[url]https://math.pro/db/attachment.php?aid=2492&k=65112d766aa8989c810ada8ec7dc73e8&t=1406332144[/url]
二、求同時滿足下列條件的最小正整數n：\( \displaystyle \frac{n}{2} \)為完全平方數(即\( m^2 \))的形式，\( \displaystyle \frac{n}{3} \)為完全立方數，且\( \displaystyle \frac{n}{5} \)為完全五次方數。
[解答]
[url]www.tcgs.tc.edu.tw/~sunp/compete/junior/09.doc[/url]
三、證明：\( \displaystyle \left( \matrix{n \cr 0} \right)-\frac{1}{2} \left( \matrix{n \cr 1} \right)+\frac{1}{3} \left( \matrix{n \cr n} \right)-\ldots+\frac{(-1)^n}{n+1} \left( \matrix{n \cr n} \right)=\frac{1}{n+1} \)。此處\( \displaystyle \left( \matrix{n \cr i} \right)=\frac{n!}{i!(n-i!)} \)，\( \displaystyle \left( \matrix{n \cr 0} \right)=1 \)為二項係數。
[解答]
\( \displaystyle \frac{1}{k+1} \left( \matrix{n \cr k} \right)=\frac{1}{k+1} \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{1}{n+1} \cdot \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{1}{n+1} \cdot \left( \matrix{n+1 \cr k+1} \right) \)
由二項式定理可知
\( \displaystyle (1+x)^{n+1}=\left( \matrix{n+1 \cr 0} \right)+\left( \matrix{n+1 \cr 1} \right)x^1+\ldots+\left( \matrix{n+1 \cr n+1} \right)x^{n+1} \)
\( x=-1 \)代入
\( \displaystyle (1+(-1))^{n+1}=\left( \matrix{n+1 \cr 0} \right)-\left( \matrix{n+1 \cr 1} \right)+\ldots+(-1)^{n+1}\left( \matrix{n+1 \cr n+1} \right) \)
\( \displaystyle \left( \matrix{n+1 \cr 1} \right)-\left( \matrix{n+1 \cr 2} \right)+\ldots+(-1)^{n+1}\left( \matrix{n+1 \cr n+1} \right)=\left( \matrix{n+1 \cr 0} \right)=1 \)
原式\( \displaystyle =\sum_{k=0}^{k=n}(-1)^k \frac{1}{k+1} \left( \matrix{n \cr k} \right)=\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{k=n}(-1)^k \left( \matrix{n+1 \cr k+1} \right)=\frac{1}{n+1} \)
[另解]
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347341379.A.6B5.html[/url]
四、求所有小於36的正整數n，使得36整除\( n^9+n^6+n^3+1 \)。
[解答]
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1316255004.A.268.html[/url]
[url]http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1316254787.A.EDF.html[/url]
五、任給兩個大於1，且為互質的正整數a,b。試證：
(一)\( ab-a-b \)不可能寫成\( a \cdot x+b \cdot y \)的形式，其中x,y為非負整數。
(二)任意\( ab-a-b \)大的整數都可以寫成\( a \cdot x+b \cdot y \)的形式，其中x,y為非負整數。
(例如：\( a=3 \)，\( b=5 \)，則7無法寫成\( 3 \cdot x+5 \cdot y \)的形式，其中x,y為非負整數；但\( 8=3+5 \)，\( 9=3 \cdot 3 \)，\( 10=2 \cdot 5 \)，\( 11=2 \cdot 3+5 \))…。事實上，任意比7大的整數可以寫成\( 3 \cdot x+5 \cdot y \)的形式)
[解答]
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347802854.A.40F.html[/url]
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347811303.A.E97.html[/url]
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