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所謂「信心」,
是無論景氣再壞,都要相信自己有能力。

bugmens 發表於 2014-7-26 08:05

100國家安全情報人員考試-數論

題目下載[url]http://www1c.moex.gov.tw/ExamQuesFiles/Question/100/100180_60930.pdf[/url]

一、求出四組滿足方程式\( 35x+55y+77z=1 \)的整數解\( (x,y,z) \)。
[解答]
[url]https://math.pro/db/attachment.php?aid=2492&k=65112d766aa8989c810ada8ec7dc73e8&t=1406332144[/url]


二、求同時滿足下列條件的最小正整數n:\( \displaystyle \frac{n}{2} \)為完全平方數(即\( m^2 \))的形式,\( \displaystyle \frac{n}{3} \)為完全立方數,且\( \displaystyle \frac{n}{5} \)為完全五次方數。
[解答]
[url]www.tcgs.tc.edu.tw/~sunp/compete/junior/09.doc[/url]


三、證明:\( \displaystyle \left( \matrix{n \cr 0} \right)-\frac{1}{2} \left( \matrix{n \cr 1} \right)+\frac{1}{3} \left( \matrix{n \cr n} \right)-\ldots+\frac{(-1)^n}{n+1} \left( \matrix{n \cr n} \right)=\frac{1}{n+1} \)。此處\( \displaystyle \left( \matrix{n \cr i} \right)=\frac{n!}{i!(n-i!)} \),\( \displaystyle \left( \matrix{n \cr 0} \right)=1 \)為二項係數。
[解答]
\( \displaystyle \frac{1}{k+1} \left( \matrix{n \cr k} \right)=\frac{1}{k+1} \cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{1}{n+1} \cdot \frac{(n+1)!}{(k+1)!(n-k)!}=\frac{1}{n+1} \cdot \left( \matrix{n+1 \cr k+1} \right) \)

由二項式定理可知
\( \displaystyle (1+x)^{n+1}=\left( \matrix{n+1 \cr 0} \right)+\left( \matrix{n+1 \cr 1} \right)x^1+\ldots+\left( \matrix{n+1 \cr n+1} \right)x^{n+1} \)
\( x=-1 \)代入
\( \displaystyle (1+(-1))^{n+1}=\left( \matrix{n+1 \cr 0} \right)-\left( \matrix{n+1 \cr 1} \right)+\ldots+(-1)^{n+1}\left( \matrix{n+1 \cr n+1} \right) \)
\( \displaystyle \left( \matrix{n+1 \cr 1} \right)-\left( \matrix{n+1 \cr 2} \right)+\ldots+(-1)^{n+1}\left( \matrix{n+1 \cr n+1} \right)=\left( \matrix{n+1 \cr 0} \right)=1 \)

原式\( \displaystyle =\sum_{k=0}^{k=n}(-1)^k \frac{1}{k+1} \left( \matrix{n \cr k} \right)=\frac{1}{n+1} \sum_{k=0}^{k=n}(-1)^k \left( \matrix{n+1 \cr k+1} \right)=\frac{1}{n+1} \)

[另解]
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347341379.A.6B5.html[/url]


四、求所有小於36的正整數n,使得36整除\( n^9+n^6+n^3+1 \)。
[解答]
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1316255004.A.268.html[/url]
[url]http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1316254787.A.EDF.html[/url]


五、任給兩個大於1,且為互質的正整數a,b。試證:
(一)\( ab-a-b \)不可能寫成\( a \cdot x+b \cdot y \)的形式,其中x,y為非負整數。
(二)任意\( ab-a-b \)大的整數都可以寫成\( a \cdot x+b \cdot y \)的形式,其中x,y為非負整數。
(例如:\( a=3 \),\( b=5 \),則7無法寫成\( 3 \cdot x+5 \cdot y \)的形式,其中x,y為非負整數;但\( 8=3+5 \),\( 9=3 \cdot 3 \),\( 10=2 \cdot 5 \),\( 11=2 \cdot 3+5 \))…。事實上,任意比7大的整數可以寫成\( 3 \cdot x+5 \cdot y \)的形式)
[解答]
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347802854.A.40F.html[/url]
[url]https://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1347811303.A.E97.html[/url]

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