Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » III：平面坐標與向量 » 面積問題

tsyr 發表於 2014-7-4 07:54

面積問題

P為正三角形ABC內切圓上的一點，P關於三邊的對稱點分別為P1、P2、P3，則三角形P1P2P3的面積為正三角形ABC的幾倍?

thepiano 發表於 2014-7-4 10:10

答案是 3/4，請看圖，不解釋
連結已失效h ttps://dl.dropboxusercontent.com/u/53005093/20140704.jpg

tsyr 發表於 2014-7-4 11:10

根據鋼琴老師的那兩條輔助線
如果正三角形邊長固定
(抱歉，剛才我打錯了，修改一下)
那麼P3A*P1A+P1B*P2B+P2C*P3C
一定是定值囉
至於怎麼算出這定值並證明
我還要再思考一下

tsyr 發表於 2014-7-4 11:31

不好意思，小弟幾何還有待加強
只想得到這種爛方法
先假設正三角形邊長為2根號3
則內接圓的半徑為1
剛才的
P3A*P1A+P1B*P2B+P2C*P3C
=PA^2+PB^2+PC^2
然後架座標
A(0,2)，B(-根號3,-1)，C(根號3,-1)
P(cosx,sinx)
展開後得PA^2+PB^2+PC^2=15
於是得到答案為3/4
......中間過程不再贅述(像是角P3AP1=角P1BP2=角P2CP3=120度......)

Ellipse 發表於 2014-7-4 14:35

我來改一下題目:
P為正三角形ABC外接圓上的一點，P關於三邊(延長線)的對稱點分別為P1、P2、P3，
證明P1,P2,P3三點共線

tsyr 發表於 2014-7-4 14:58

回復 5# Ellipse 的帖子

真的耶
好奇妙喔!

這直線是不是恆通過正三角形的中心
就是圓心?

只要證明對任兩邊做對稱的點
兩點決定的直線必過圓心
則可證明三點共線

Ellipse 發表於 2014-7-4 15:14

[quote]原帖由 [i]tsyr[/i] 於 2014-7-4 02:58 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11584&ptid=1995][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
真的耶
好奇妙喔!

這直線是不是恆通過正三角形的中心
就是圓心?

只要證明對任兩邊做對稱的點
兩點決定的直線必過圓心
則可證明三點共線 [/quote]
有點像"西姆松定理"~

hua0127 發表於 2014-7-4 15:21

回復 7# tsyr 的帖子

更神奇的是，橢圓兄所說的性質對任意的三角形都成立喔，同時也會過三角形的垂心。

如橢圓兄所提，類似"西姆松定理"，有興趣可以查查關鍵字"史坦纳定理"。

tsyr 發表於 2014-7-4 17:00

還是來回復一下好了
順便補充說明，並附個圖

西姆松定理
過三角形外接圓上任意一點(P)作三邊的垂線
則三垂足(Q1、Q2、Q3)共線，此線稱為 西姆松線

其實證明很簡單，用共圓即可

根據此定理
將P點沿垂足方向延長為2倍
因此P1、P2、P3也共線

史坦納定理
設△ABC的垂心為H，點P為△ABC外接圓上任意點，則點P關於△ABC的西姆松線通過線段PH的中點。

換句話說，P1、P2、P3共線且"過三角形的垂心"

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