Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » III：平面坐標與向量 » 幾何證明2014.7.3

tsyr 發表於 2014-7-2 06:47

幾何證明2014.7.3

如圖，E、F分別為圓O的內接四邊形ABCD的對角線BD、AC的中點，分別過E、F作EK垂直AC，FK垂直BD，兩直線交於K，KM垂直AD交BC於M。
請證明BM = MC。

tsyr 發表於 2014-7-2 21:02

我的解法
如下圖
看圖就懂了
剩下就交給bch0722b

不然又會打錯字~~

好像少了些東西
再加幾條線好了

[[i] 本帖最後由 tsyr 於 2014-7-2 09:39 PM 編輯 [/i]]

tsyr 發表於 2014-7-3 09:42

自己來好了
若有疏漏敬請指正

如上圖
易知OEKF為平行四邊形
延長BK至I，使得BK = KI
延長AO交圓於G，連DG，則AD垂直DG
連CG，則CG = 2FO = 2EK = ID，且CG// FO // EK // ID
故IDGC為平行四邊形，故DG = IC
因KM//DG//IC(∵KM垂直AD且DG垂直AD)，且K為BI中點，故M為BC中點
得證

tsyr 發表於 2014-7-3 09:57

補充說明
【思路引導】
一開始我先延長AO交圓於G，連CG，則CG = 2EK
再連BG，若M為BC中點(先從答案倒推)，則KEHM為平行四邊形
2KM = 2EH = DG
因此我想，只要證明2KM = DG即可證明M為BC中點
於是，如果把DG平移至IC，再證明K為BI中點即可
逆向思考，再輔佐幾個平行問題，於是就成了上面的證明了

bch0722b 發表於 2014-7-3 10:01

這....太神奇了!不過繞了好大一圈，超複雜!!!看來是需要勇氣(畫成這樣還敢再證下去的勇氣)與毅力的證明。
或許向量能快些~~純幾何真是太猛了==!

bch0722b 發表於 2014-7-3 11:23

BG和H根本多餘,搞得那張圖怪可怕的==

tsyr 發表於 2014-7-3 11:29

有用阿
輔助思考(思路引導)
雖然證明時沒用到

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