內切圓半徑相等時
已知三角形ABC中，BC邊上的高=4，且三角形ABC的內接圓[b]直徑[/b]為3。今在BC上取一點K使得三角形ABK的內接圓半徑=三角形ACK的內接圓半徑=r。求r?
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令三邊長為\(a,b,c\), 則由面積關係，\(\left( \frac{a+b+c}{2} \right)\cdot \left( \frac{3}{2} \right)=\frac{1}{2}\cdot \left( 4a \right)\Rightarrow b+c=\frac{5}{3}a\)利用一個不常見的小性質：內切圓等分線的長度 \(\overline{AK}=\sqrt{s\left( s-a \right)}=\sqrt{\left( \frac{4}{3}a \right)\cdot \left( \frac{1}{3}a \right)}=\frac{2}{3}a\)
(詳情見莊老師的文章：[url]http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d354/35408.pdf[/url])
最後，再利用一次面積相等，
\(2a=\left( a+b+c+2\overline{AK} \right)\cdot r=\left( 4a \right)\cdot r\Rightarrow r=\frac{1}{2}\)
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-30 11:55 PM 編輯 [/i]] 這小定理 幾乎是為了這題而出現的
不對，說反了，這題的出題者應該是看了這定理才出的吧! 確實少見的東西~~
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