Math Pro 數學補給站 » 高中的數學 » I：數與函數 » 連續正整數的乘積

tsyr 發表於 2014-6-30 12:12

連續正整數的乘積

已知n!可被表示為(n−3)個連續正整數的乘積，則n之最大值為________。

thepiano 發表於 2014-6-30 14:14

n! = 1 * 2 * 3 * 4 * ... * n 要表為 (n − 3) 個連續正整數的乘積

把 1 * 2 * 3 * 4 移到最後變成 n! = 5 * 6 * ... * n * 24
這樣的話，n = 23
23! = 24!/4!
23! 可表為 20 個連續正整數的乘積

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-30 02:18 PM 編輯 [/i]]

tsyr 發表於 2014-6-30 15:20

同理，若將前面x個整數移到後面，
即(x+1)(x+2)(x+3)...(n)x!=n!
所以x一定要滿足等式x!-x=n-3，又n=x!-1
整理得x!-x=x!-4
故x=4
代入得n=23

但為何一定要將前面的移到後面?

tsyr 發表於 2014-6-30 15:30

[b][u]例如n=4時，便不符合上述情況[/u][/b]
帶入上式得x!=5，雖然4比23小，
但更大的數會不會有類似情況發生?

thepiano 發表於 2014-6-30 15:39

[quote]原帖由 [i]tsyr[/i] 於 2014-6-30 03:20 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11463&ptid=1974][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
但為何一定要將前面的移到後面? ... [/quote]
把後面比較大的數移到前面，就不符合連續整數囉

至於 n = 4 時
4! 要表為 4 - 3 = 1 個連續整數的乘積，只有 1 個，應該不能叫連續
當然不合

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-7-1 02:30 PM 編輯 [/i]]

tsyr 發表於 2014-6-30 15:47

這麼說也對
謝謝幫忙

cefepime 發表於 2014-7-1 12:10

[size=3]如果題目的"連續"意指"至少2個"，則本題 n 恰有3組解:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]n= 6，7，或 23[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]說明:[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]6! = 8*9*10[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]7! = 7*8*9*10[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]23! = 5*6*7*...*24[/size]

tsyr 發表於 2014-7-1 12:14

奇怪!怎麼又有一組了?
該不會有更多吧?

cefepime 發表於 2014-7-1 12:19

[size=3]我想"恰有3組" (4! = 24 不算)，不會更多。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3][/size]

tsyr 發表於 2014-7-1 13:06

我發現前面的推論好像有漏洞
因為前面拿掉的x個數不一定要放在最後一項
可以分散開來
就像
7! = 7*8*9*10
前面拿掉的6!不集中在10這最後一項
所以同樣的，我們也沒有"把後面比較大的數移到前面"
也符合連續整數的規定
如果真的只有三組
也只能再另想辦法證明不可能第四組出現

cefepime 發表於 2014-7-1 23:34

[size=3]n! 可表示為 (n−3) 個連續正整數的乘積:[/size]
[size=3]n! = 1*2*3*4...*n[/size]
[size=3]P = 4*...*n[/size]
[size=3]我以這個 P 為起點 (此時 P <  n!)，將 P 的成員依序往右"滑動" 1 格 (則 P 依序變大)，若滑到某處可滿足 P =  n!，就找到了一個 n 的解。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]我用這個思維，考慮:[/size]
[size=3]A. n之最大值為?[/size]
[size=3]B. 所有可能的 n 值為?[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]A. [/size]
[size=3]P 的成員往右滑動 1 格後，成為 5*...*(n+1)，與 n! 比較，知取 (n+1) = 4! 即可使 P =  n!，即 n = 23，則 23! = 5*6*7*...*24 符合所求。[/size]
[size=3]現證明 n = 23 為最大值，考慮 n > 23:[/size]
[size=3]n! = 1*2*3*4...*n[/size]
[size=3]P = 4*...*n (此時 P <  n!)[/size]
[size=3]P 的成員往右滑動 1 格後，成為 5*...*(n+1)，因(n+1) > 4!，故 P >  n!，再往右滑當然亦是 P >  n!。[/size]
[size=3]因此，n = 23為 n 之最大值。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]B.[/size]
[size=3]由以上思維可以發現，欲使 n! 可表示為 (n−3) 個連續正整數的乘積，必要條件是在比 n 大的正整數中，找到連續 k 個，其乘積 = (3+k)! 。而若找到時，把這連續 k 個正整數乘積與(3+k)! 補上公共部分 (公共部分也可以是空集合，即"不補")，就得到符合所求的 n。因此，"在比 n 大的正整數中，找到連續 k 個，使其乘積 = (3+k)! "，就成了求 n 的充要條件。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]B-1[/size]
[size=3]考慮 k = 1，得 4! = 24 (連續"1個"正整數 = 24)。[/size]
[size=3]補上 4! 與 24 間的公共部分，得 23! = 5*6*7*...*24 ，則 [color=red]n = 23[/color]。[/size]
[size=3]若不補，即保持 4! = 24 ，假定題目的"連續"意指"至少2個"，則 n = 4 不合。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3]B-2[/size]
[size=3]考慮 k = 2，即 5! = m*(m+1)，由 5! = 10*12，易知 m 無正整數解。[/size]
[size=3]
[/size]
[size=3][size=3]B-3[/size]
[size=3]考慮 k = 3，即 6! = m*(m+1)*(m+2)，不難得出 6! = 8*9*10。[/size]
[size=3]補上 6! 與 8*9*10 間的公共部分，得 7! = 7*8*9*10，則[color=red] n = 7[/color]。[/size]
[size=3]若不補，即保持 6! = 8*9*10，則 [color=red]n = 6[/color]。[/size]

B-4
以下證明 k > 3 則無解。由 6! = 8*9*10，則:
易知  7! < 8*9*10*11，所以 k = 4 無解。
易知  8! < 8*9*10*11*12，所以 k = 5 無解。
以下類推(更大的 k 情形皆可由 6! = 8*9*10 延長衍生，繼而看出必然"左<右")，固然可用數學歸納法證明，但應該很好理解體會，不再贅述。

綜合以上，符合題意的 n 恰有三個: n= 6，7，或 23。





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[size=3]
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tsyr 發表於 2014-7-2 06:02

這個太強了!
謝謝解答

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