面積最大值
三角形ABC中，AB=10，BC=14，CA=16，設D為BC上一點，(D不在端點上)，I[size=1]B[/size]與I[size=1]C[/size]分別為三角形ABD及ACD的內心，三角形BI[size=1]B[/size]D和CI[size=1]C[/size]D的外接圓交於相異兩點P與D，則三角形BPC最大可能面積為?答案為98-(49根號3)
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(1) 因四點共圓，\(\angle BPD=180{}^\circ -\angle B{{I}_{B}}D=\angle {{I}_{B}}BD+\angle {{I}_{B}}DB\) ；\(\angle CPD=180{}^\circ -\angle C{{I}_{C}}D=\angle {{I}_{C}}CD+\angle {{I}_{C}}DC\)(2) 由餘弦定理，\(\angle A=60{}^\circ =360{}^\circ -2\left( \angle {{I}_{B}}BD+\angle {{I}_{B}}DB+\angle {{I}_{C}}CD+\angle {{I}_{C}}DC \right)\) ,
故\(\angle {{I}_{B}}BD+\angle {{I}_{B}}DB+\angle {{I}_{C}}CD+\angle {{I}_{C}}DC=150{}^\circ \)
(3) \(\angle BPC=\angle BPD+\angle CPD=\angle {{I}_{B}}BD+\angle {{I}_{B}}DB+\angle {{I}_{C}}CD+\angle {{I}_{C}}DC=150{}^\circ \)
(4) 接下來不難驗證等腰三角形時會產生最大面積，此時面積為\(98-49\sqrt{3}\) 原來不需要算出BP和CP而可以巧妙避開BP和CP的長度
先算出BPC的角度(原來另外兩邊長只是工具)，
只要把重點放在三角形BPC即可
謝謝!又學到一招
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