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三助:自助、人助、天助。

tsyr 發表於 2014-6-30 08:07

面積最大值

三角形ABC中,AB=10,BC=14,CA=16,設D為BC上一點,(D不在端點上),I[size=1]B[/size]與I[size=1]C[/size]分別為三角形ABD及ACD的內心,三角形BI[size=1]B[/size]D和CI[size=1]C[/size]D的外接圓交於相異兩點P與D,則三角形BPC最大可能面積為?

答案為98-(49根號3)

hua0127 發表於 2014-6-30 13:01

回復 1# tsyr 的帖子

(1) 因四點共圓,\(\angle BPD=180{}^\circ -\angle B{{I}_{B}}D=\angle {{I}_{B}}BD+\angle {{I}_{B}}DB\) ;\(\angle CPD=180{}^\circ -\angle C{{I}_{C}}D=\angle {{I}_{C}}CD+\angle {{I}_{C}}DC\)
(2) 由餘弦定理,\(\angle A=60{}^\circ =360{}^\circ -2\left( \angle {{I}_{B}}BD+\angle {{I}_{B}}DB+\angle {{I}_{C}}CD+\angle {{I}_{C}}DC \right)\) ,
   故\(\angle {{I}_{B}}BD+\angle {{I}_{B}}DB+\angle {{I}_{C}}CD+\angle {{I}_{C}}DC=150{}^\circ \)
(3) \(\angle BPC=\angle BPD+\angle CPD=\angle {{I}_{B}}BD+\angle {{I}_{B}}DB+\angle {{I}_{C}}CD+\angle {{I}_{C}}DC=150{}^\circ \)
(4) 接下來不難驗證等腰三角形時會產生最大面積,此時面積為\(98-49\sqrt{3}\)

tsyr 發表於 2014-6-30 13:35

原來不需要算出BP和CP而可以巧妙避開BP和CP的長度
先算出BPC的角度(原來另外兩邊長只是工具),
只要把重點放在三角形BPC即可
謝謝!又學到一招

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