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tsyr 發表於 2014-6-26 21:00

四個實根

實數a、b、c、d滿足b-d≥5,且方程式x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0有四個實根x_1、x_2、x_3、x_4,試求(x_1^2+1)(x_2^2+1)(x_3^2+1)(x_4^2+1)之最小值。

arend 發表於 2014-6-27 00:55

回復 1# tsyr 的帖子

請問答案是16嗎?

tsyr 發表於 2014-6-27 07:09

是的!沒有錯!
怎麼做?

tsyr 發表於 2014-6-27 14:53

謝謝老師!

cefepime 發表於 2014-6-28 16:10

[size=3]謝謝鋼琴老師提供解答! 個人悟性較差,有一處想不明白,還請高明指導:[/size]
[size=3]
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[size=3]鋼琴老師解答依據之柯西不等式,右式為變數型態,則等號成立之時,何以得知其為最小值?[/size]
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[size=3]例如本題最小值為四個實根同為 1 (或同為 -1)之時。現我假定另有4個不全相等之正實數 p,q,r,s,滿足 pq+pr+ps+qr+qs+rs - pqrs ≥ 5 (從而可作為原方程式之四個實根) 且 pqrs <1。現我將  p,q,r,s 套用入鋼琴老師解答依據之柯西不等式,則因 p,q,r,s 不全相等,故等號不成立,但此時右式亦 < 16,則此 p,q,r,s 所構成之左式 (即"目標函數"),如何得知必 ≥ 16?  又如果反駁我舉的這種情形,說此時可以用 p,q,r,s 之幾何平均數來取代 p,q,r,s 為"新的"四根可使左式進一步變小(因此時右式不變,而等號可成立),但如此一來可能無法滿足 b-d ≥ 5 之條件(尤其是當我取的 p,q,r,s,滿足 pq+pr+ps+qr+qs+rs - pqrs = 5 時)。[/size]
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[size=3]我相信答案是對的,但鋼琴老師的解法邏輯上我想不懂,懇請指導為感![/size]

tsusy 發表於 2014-6-28 18:34

回復 1# tsyr 的帖子

注意 \( x^2 + 1 = (x+i)(x-i) = (i-x)(-i-x) \)

故目標式可改寫為 \( \begin{aligned}\prod(i-x_{i})\prod(-i-x_{i}) & =(1-ai-b+ci+d)(1+ai-b-ci+d)\\
& =(1-b+d)^{2}+(c-a)^{2}\\
& \geq(1-5)^{2}+0^{2}=16
\end{aligned} \)

當 \( a = c \) 且 \( b - d =5 \) 時,等式成立,達最小值 16 (還有四實根還沒驗)

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-28 06:37 PM 編輯 [/i]]

tsyr 發表於 2014-6-28 20:01

我發現了!
當時我在做也是採用tsusy的方法,
結果我的眼睛真是夠大顆的!!
竟然將(-i)^4寫成-1!!
所以根據(1-ai-b+ci+d)(-1+ai-b-ci+d)就無法配出下面的式子了!
不過下一個式子也蠻有技巧的不容易想得到
謝謝老師

[[i] 本帖最後由 tsyr 於 2014-6-28 08:07 PM 編輯 [/i]]

tsusy 發表於 2014-6-28 20:32

回復 8# tsyr 的帖子

共軛複數的乘法,\( z \bar{z} = |z|^2 \)

thepiano 發表於 2014-6-28 20:37

回復 5# cefepime 的帖子

Sorry,那樣寫的確有問題,先刪去

tsusy 發表於 2014-6-28 20:39

回復 9# thepiano 的帖子

鋼琴兄,你刪了,就沒人驗我的等號了...

至少你那篇驗了可以等於 16 的事,可以把這件事補回來嗎?

thepiano 發表於 2014-6-28 22:05

回復 10# tsusy 的帖子

寸絲兄,四根都是 1 或都是 -1,就可以驗您妙解中的等號了
小弟那個有問題的解,還是砍掉重練的好
剛才幫小朋友洗澡,又想到一個解法

四實根用\(p,q,r,s\),比較簡便

\(\begin{align}
  & \left( {{p}^{2}}+1 \right)\left( {{q}^{2}}+1 \right)\left( {{r}^{2}}+1 \right)\left( {{s}^{2}}+1 \right) \\
& =\left[ {{\left( p+q \right)}^{2}}+{{\left( pq-1 \right)}^{2}} \right]\left[ {{\left( r+s \right)}^{2}}+{{\left( 1-rs \right)}^{2}} \right] \\
& \ge {{\left[ \left( p+q \right)\left( r+s \right)+\left( pq-1 \right)\left( 1-rs \right) \right]}^{2}} \\
& ={{\left( pq+pr+ps+qr+qs+rs-pqrs-1 \right)}^{2}} \\
& ={{\left( b-d-1 \right)}^{2}} \\
& \ge {{\left( 5-1 \right)}^{2}} \\
& =16 \\
\end{align}\)

等號成立於 \(\frac{p+q}{r+s}=\frac{pq-1}{1-rs}\quad \Rightarrow \quad a=c\) 和 \(b-d=5\)

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-28 10:06 PM 編輯 [/i]]

tsyr 發表於 2014-6-29 07:43

好神!

Ellipse 發表於 2014-6-29 09:52

考題的推廣,這題可以考:

因式分解(a b + a c + a d + b c + b d + c d - a b c d - 1)^2+ (-a - b - c -d +a b c  + a b d + a c d + b c d)^2
=?

tsyr 發表於 2014-6-29 10:04

回復 13# Ellipse 的帖子

太狠了吧!
如果沒看過這題
沒有多少人會往這方面想
不過倒是很有創意

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