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tsyr 發表於 2014-6-22 06:48

整除與平方數

正整數a,b使ab+1能夠整除a^2+b^2。求證(a^2+b^2)/(ab+1)是完全平方數。

[url]http://www.artofproblemsolving.com/wiki/index.php/1988_IMO_Problems/Problem_6[/url]

hua0127 發表於 2014-6-29 15:11

回復 1# tsyr 的帖子

翻了翻以前的筆記,這題好像是某一年的IMO題,

設一組正整數\(a,b,n\)滿足\({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=n\left( ab+1 \right)\), 不失一般性,我們可以假設\(a\ge b\).然後對於固定的\(n\), 假設\(c\)是所有解\(\left( a,b \right)\)中所出現的最小正整數 (存在性由正整數的良序性得到),則我們有\({{a}^{2}}+{{c}^{2}}=n\left( ac+1 \right)\Rightarrow {{a}^{2}}-\left( nc \right)a+{{c}^{2}}-n=0\), 表示\(a\)為二次方程式\({{x}^{2}}-\left( nc \right)x+{{c}^{2}}-n=0\)之其中一正整數根。設另一根為\(d\), 則
\(cd\le ad={{c}^{2}}-n<{{c}^{2}}\), 故\(d<c\). 觀察此時\(d\)不為正整數,否則會跟\(c\)為最小正整數矛盾。由根與係數關係,\(a+d=nc\Rightarrow d=nc-a\in \mathbb{Z}\), 故可推得\(d\le 0\).
最後由\(\left( a+1 \right)\left( d+1 \right)=ad+\left( a+d \right)+1=\left( {{c}^{2}}-n \right)+nc+1={{c}^{2}}+n\left( c-1 \right)+1\ge 1\),
因為\(a+1>1\Rightarrow d+1>0\Rightarrow d>-1\), 故\(-1<d\le 0\), 所以\(d=0\), 得到\(n={{c}^{2}}\), 證畢。

tsyr 發表於 2014-6-29 15:56

除非被雷打到,不然怎麼可能想得到要這樣證?
太強了! 太妙了!
謝謝老師還特別去翻筆記
IMO好像每題都這麼誇張
我是不確定這題的出處
不過真是太佩服命題者了

第一步,假設c是最小正整數.......已經很難想到了
第二步,根與係數.......................更難想到
第三步,由不等式得出d=0..........幾乎是不可能的事
這真是太..................誇張了

hua0127 發表於 2014-6-29 16:04

回復 3# tsyr 的帖子

真的是很難想到,至少我也想不到XD這證法也是神人的傑作,借花獻佛一下。

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