103南大附中
想請教填4和填11謝謝 2.在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，其球心相距20。若作一平面與這兩球面相切，且與圓柱體相交成一橢圓，則此橢圓的長軸為[u] [/u]。
[解答]
長軸長等於球心距
在底面半徑為6的圓柱內，有兩個半徑也為6的球面，其球心距為13。今有一平面與這兩球面相切，且與圓柱面相交成一橢圓，則這個橢圓的長軸與短軸長之和為[u] [/u]。
(99中正高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=981&page=3#pid4693[/url])
[img]http://blog.zacharyabel.com/wp-content/uploads/2012/09/dandelin-spheres-anim.gif[/img]
3.
某班有10位學生，投票表達其較喜歡英文老師或數學老師，每人一票且必須投給一位老師，不能兩位老師都選或都不選。開票時，逐一開票。假設，每位學生投給老師的機率均為\( \displaystyle \frac{1}{2} \)。請問，在數學老師的總得票數為6票之條件下，數學老師的得票數在開票過程中，一路領先於英文老師的得票數之機率為[u] [/u]？
[公式]
\( \displaystyle \frac{6-4}{6+4}=\frac{1}{5} \)
13.
求兩圓柱體\( x^2+y^2 \le 1 \)與\( x^2+z^2 \le 1 \)所共有部份體積是[u] [/u]。
求計算\( x^2+y^2\le 1 \)，\( y^2+z^2\le 1 \)之共同部分體積
(98彰化女中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=741&page=1#pid1312[/url])
[img]http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=1925[/img]
[url=http://www.geogebra.org/forum/download/file.php?id=1926]GGB檔下載[/url]
計算1.
\( \Delta ABC \)中，設\( \overline{BC} \)，\( \overline{AC} \)，\( \overline{AB} \)邊上的高分別為\( h_a \)，\( h_b \)，\( h_c \)，內接圓半徑為r。試證：\( h_a+h_b+h_c \ge 9 r \)
[證明]
\( \displaystyle \Delta=\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a=\frac{1}{2} \cdot (a+b+c) \cdot r \)，得\( \displaystyle h_a=\frac{a+b+c}{a}r \)
同理\( \displaystyle h_b=\frac{a+b+c}{b}r \)，\( \displaystyle h_c=\frac{a+b+c}{c}r \)
\( \displaystyle h_a+h_b+h_c=r(a+b+c) \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right) \ge 9 r \)
103 年南大附中第11題
原來是我看錯題目了，謝謝拉回復 1# natureling 的帖子
第4題：先觀察原行列式可化簡為
\(\frac{1}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\left| \begin{matrix}
1 & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\
1 & {{b}^{2}} & {{b}^{3}} \\
1 & {{c}^{2}} & {{c}^{3}} \\
\end{matrix} \right|\), 後面的行列式硬爆開也可以，
但也可以考慮此為缺行的凡德孟行列式，
令函數\(g\left( x \right)=\left| \begin{matrix}
1 & a & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\
1 & b & {{b}^{2}} & {{b}^{3}} \\
1 & c & {{c}^{2}} & {{c}^{3}} \\
1 & x & {{x}^{2}} & {{x}^{3}} \\
\end{matrix} \right|=\left( x-a \right)\left( x-b \right)\left( x-c \right)\left( b-a \right)\left( c-a \right)\left( c-b \right)\)
則 \(\left| \begin{matrix}
1 & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\
1 & {{b}^{2}} & {{b}^{3}} \\
1 & {{c}^{2}} & {{c}^{3}} \\
\end{matrix} \right|\) 就是函數\(g\)的\(x\)項係數，故所求
\(\frac{1}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\left| \begin{matrix}
1 & {{a}^{2}} & {{a}^{3}} \\
1 & {{b}^{2}} & {{b}^{3}} \\
1 & {{c}^{2}} & {{c}^{3}} \\
\end{matrix} \right|=\frac{ab+bc+ca}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\left( b-a \right)\left( c-a \right)\left( c-b \right)\Rightarrow f\left( a,b,c \right)=\frac{ab+bc+ca}{{{\left( abc \right)}^{2}}}\) [quote]原帖由 [i]sun[/i] 於 2014-6-15 10:10 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11197&ptid=1942][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
填充4和填充11
請各位高手幫我確定一下吧! 如果是的話，請有去考的考生明天一早趕快去申訴，搞不好就差一題進複試了。 [/quote]
填充 11
後面 y 的部份只有 3 個絕對值
問問題~
想請問填充6.9.15 謝謝!!回復 4# hua0127 的帖子
帥喔~解得漂亮~回復 6# subway 的帖子
#6k/(k+3)² = (1/k)* 1/ [1+3/k]²
所求=∫ {0 to 1} 1/(1+3x)² dx
(令u=3x+1 , du=3dx , x=0時,u=1 ;x=1時,u=4)
= (1/3) ∫ {1 to 4} 1/u² du
=(-1/3)* u^(-1) | {1 to 4}
=(-1/3)* (1/4 -1/1)
=1/4
#9
疊合~
2y+ycosx=cox+2sinx
2y=(1-y)cosx+2sinx
2y=[(1-y)²+4]^0.5* cos(x+a)
|2y|/[(1-y)²+4]^0.5<=1
解得-5/3<=y<=1
#12
歐拉公式~
#14
唬人的~題目雖是空間敘述
但可用柯西不等式~
# 15
所求=∫ {0 to 1} [cos(πx/4)]² dx
=(1/2)∫ {0 to 1} [cos(πx/2)+1] dx (兩倍角公式)
=(1/2) [ (2/π)*sin(πx/2) +x ] | {0 to 1}
=(1/2)[ 2/π +1]
=1/π +1/2
回復 6# subway 的帖子
補充填充9：橢圓兄有在 103華僑中學 的主題表演過n種解法XD，也可參考
[url]https://math.pro/db/thread-1886-1-2.html[/url]
計算1：
\(a{{h}_{a}}=b{{h}_{b}}=c{{h}_{c}}=2rs=r\left( a+b+c \right)\) , 利用柯西不等式
\({{h}_{a}}+{{h}_{b}}+{{h}_{c}}=r\left( a+b+c \right)\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right)\ge 9r\),
等號成立在正三角形時
(沒看到 bugmens 版主已在#2 有PO解法XD)
回復 9# hua0127 的帖子
謝謝前輩們那可以繼續請問第9題要怎麼看成幾何的斜率嗎?
謝謝~
想順便再問第三題
為什麼不能是 90 / C(10,6) = 3/7 呢? [quote]原帖由 [i]subway[/i] 於 2014-6-16 12:12 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11209&ptid=1942][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
謝謝前輩們
那可以繼續請問第9題要怎麼看成幾何的斜率嗎?
謝謝~ [/quote]
原式=(cosx+2+2sinx-2)/(cosx+2)
=1+(2sinx-2)/[cosx-(-2)]
後面看成橢圓x²/1+y²/4=1上動點P(cosx,2sinx)
與A(-2,2)所連成直線的斜率值~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-16 12:26 PM 編輯 [/i]]
回復 2# bugmens 的帖子
請問，第3題的公式如何得到，還有機率1/2沒有用到說???回復 12# matric 的帖子
這個公式說來話長，可參考 許介彥老師的大作"數學悠哉遊" P139 想請教第1和11題。謝謝
回復 14# leo790124 的帖子
第1題：令原先有\({{a}_{0}}\)個，\({{a}_{n}}=\frac{3}{4}\left( {{a}_{n-1}}-1 \right),n=\text{1},2,3,4,5\)表示第n位同學吃完一個後再拿完一堆所剩的橘子數，移項得知
\({{a}_{5}}+3=\frac{3}{4}\left( {{a}_{4}}+3 \right)={{\left( \frac{3}{4} \right)}^{5}}\left( {{a}_{0}}+3 \right)=\frac{243}{1024}\left( {{a}_{0}}+3 \right)\),
因為\({{a}_{5}}\equiv 1\left( \bmod 4 \right)\Rightarrow {{a}_{5}}+3\equiv 0\left( \bmod 4 \right)\) 取\({{a}_{0}}+3=4096\) 為最小，此時\({{a}_{0}}=4093\)
回復 12# matric 的帖子
或許也能考慮直接用計算的方式：利用算 catalan 數的觀念(對稱)，直接計算不經過對角線的捷徑數：
如圖，A走捷徑到B但是不能碰到\({{P}_{k}},k=1,2,3,4\),
觀察\(A'\to {{P}_{k}}\to B\) 的不合走法數由於對稱的關係會等於\(A''\to {{P}_{k}}\to B\) 的不合走法數，
每1種不合走法會一一對應，又\(A''\to B\)的每一種走法均為不合，故所求機率為
[size=3] \(\frac{n\left( A'\to B \right)-n\left( A''\to B \right)}{n\left( A\to B \right)}=\frac{C_{5}^{9}-C_{6}^{9}}{C_{6}^{10}}=\frac{6-4}{6+4}=\frac{1}{5}\) [/size]
(推論：若size為向右m步，向上n步, \(m\ge n\) , 則所求機率為[size=3]\(\frac{C_{m-1}^{(m-1)+n}-C_{m}^{m+\left( n-1 \right)}}{C_{m}^{m+n}}=\frac{m-n}{m+n}\) [/size] )
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-16 11:53 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]subway[/i] 於 2014-6-16 12:12 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11209&ptid=1942][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想順便再問第三題
為什麼不能是 90 / C(10,6) = 3/7 呢? [/quote]
不能碰到那條線，分子應是42
回復 16# hua0127 的帖子
謝謝大大的說明...:)回復 2# bugmens 的帖子
想請問平面截圓柱圖是什麼軟體作出來的謝謝版主！ [quote]原帖由 [i]瓜農自足[/i] 於 2014-6-17 02:08 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11233&ptid=1942][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請問平面截圓柱圖是什麼軟體作出來的
謝謝版主！ [/quote]
那時候急著發表文章，是從網路上找到的
[url]http://blog.zacharyabel.com/2012/10/what-makes-ellipses-ellipses/[/url]
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