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tsyr 發表於 2014-6-13 08:59

不定方程的有理數解?

證明:不定方程 x^2+y^2+z^2+3(x+y+z)+5=0 沒有有理數解。

令a=2x+3,b=2y+3,c=2z+3
則題目即為求證 a^2+b^2+c^2=7 中a,b,c都是無理數
接下來該怎麼做?

tsusy 發表於 2014-6-13 09:35

回復 1# tsyr 的帖子

假設 \( a^{2}+b^{2}+c^{2}=7 \) 有有理數解,則存在小正整數 \( s \) 使得 \( a^{2}+b^{2}+c^{2}=7s^{2} \) 有整數解 \( (p,q,r) \)。

故 \(0 = p^{2}+q^{2}+r^{2}-7s^{2}\equiv p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}  (mod  8) \)。

\( \gcd(p,q,r,s) \) 必為 1,否則 \( p,q,r,s \) 約去最大公因數,可得 \( \displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}=7(\frac{s}{\gcd(p,q,r,s)})^{2} \) 亦有整數解,與 \( s \) 之最小矛盾。

故 \( p,q,r,s \) 中,必為 \( 2奇2偶或4奇 \)。

(1) 而任意奇數 \( n \),皆為 \( n^{2}\equiv1 \) (mod 8),而 \( p^{2}+q^{2}+r^{2}+s^{2}\equiv0 \) (mod 8),故 \( p,q,r,s \) 為不可能是四個奇數。

(2) 而對於偶數 \( m \),則有 \( m^{2}\equiv4 \) 或 0 (mod 8),2偶數與2奇數之平方和除以 8 之餘數,僅能是 2 或 6,故2奇2偶也是不可能的。

(1)(2) 與「\( p,q,r,s \) 中,必為 2奇2偶或4奇」矛盾,故假設錯誤,\( a^{2}+b^{2}+c^{2}=7 \) 不存在有理數之解。

[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-13 08:52 PM 編輯 [/i]]

tsyr 發表於 2014-6-13 16:54

對耶!我怎麼沒想到呢?這個手法真高明
這讓我想到另一個題目,也可以用類似方法解。

類題:
若 x,y,z 為整數且滿足方程式 x^2+2y^2=4z^2
求證x=y=z=0

[[i] 本帖最後由 tsyr 於 2014-6-13 04:57 PM 編輯 [/i]]

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