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釀頂級葡萄酒的葡萄藤,
都是從最貧瘠的土壤中生長出來。

Amis 發表於 2014-6-10 09:16

高中數學資優題

想請問這兩題該怎麼解?

7.
方程式\( x^3-6x^2+3x+1=0 \)的三根\( \alpha,\beta,\gamma \)都是實數。
(i)試求出\( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3 \)的值;
(ii)試求出\( (\alpha^2+1)(\beta^2+1)(\gamma^2+1) \)的值;
(iii)已知\( \alpha,\beta,\gamma \)滿足\( \displaystyle \left| \frac{\beta}{\alpha} \right|<1<\gamma \),試求出\( \displaystyle \frac{\beta}{\alpha} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{\beta}{\alpha} \right)^k \right] \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{\alpha}{\gamma} \right)^k \right] \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{\beta}{\gamma} \right)^k \right] \)的值。

8.
已知實數\( x,y,z \)滿足\( (x+y+z)(y+z)(z+x)(x+y) \ne 0 \)且\( \displaystyle \frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}=0 \)。試求
(i)\( \displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y} \)的值;

(ii)\( \displaystyle \frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy} \)的值。

hua0127 發表於 2014-6-12 12:01

回復 1# Amis 的帖子

7(III):
先利用勘根知此三根位在區間\(\left( -1,0 \right),\left( 0,1 \right),\left( 5,6 \right)\)
再由條件\(\left| \frac{\beta }{\alpha } \right|<1<\gamma \)與二分法, 推出\(\alpha \in \left( -1,0 \right),\beta \in \left( 0,1 \right),\gamma \in \left( 5,6 \right)\)
故\(\left| \frac{\alpha }{\gamma } \right|<1,\left| \frac{\beta }{\gamma } \right|<1\), 所求為
\(\frac{\beta }{\gamma }\cdot \frac{1}{1+\frac{\beta }{\alpha }}\cdot \frac{1}{1+\frac{\alpha }{\gamma }}\cdot \frac{1}{1+\frac{\beta }{\gamma }}=\frac{\alpha \beta \gamma }{\left( \alpha +\beta  \right)\left( \beta +\gamma  \right)\left( \gamma +\alpha  \right)}=\frac{-1}{f\left( 6 \right)}=\frac{-1}{19}\)

8. 一定有更快的做法,我這作法很暴力,毫無美感冏,看看就好…
\(\frac{{{x}^{2}}}{\left( y+z \right)}+\frac{{{y}^{2}}}{\left( z+x \right)}+\frac{{{z}^{2}}}{\left( x+y \right)}=\frac{{{x}^{2}}\left( z+x \right)\left( x+y \right)+{{y}^{2}}\left( y+z \right)\left( x+y \right)+{{z}^{2}}\left( y+z \right)\left( z+x \right)}{\left( y+z \right)\left( z+x \right)\left( x+y \right)}=0\)  考慮將上式因式分解,利用輪換的觀念,發現有x+y+z之因式,故得到
\(\frac{\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+xyz \right)}{\left( y+z \right)\left( z+x \right)\left( x+y \right)}=0\Rightarrow {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+xyz=0\)
(i) 所求為
\(\frac{x}{\left( y+z \right)}+\frac{y}{\left( z+x \right)}+\frac{z}{\left( x+y \right)}=\frac{x\left( z+x \right)\left( x+y \right)+y\left( y+z \right)\left( x+y \right)+z\left( y+z \right)\left( z+x \right)}{\left( y+z \right)\left( z+x \right)\left( x+y \right)}\)
\(=\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+xyz+\left( y+z \right)\left( z+x \right)\left( x+y \right)}{\left( y+z \right)\left( z+x \right)\left( x+y \right)}=1\)

103.06.13 謝謝鋼琴老師指正,中間有計算錯誤,已修正

(ii) 所求為\(\frac{{{x}^{2}}}{yz}+\frac{{{y}^{2}}}{zx}+\frac{{{z}^{2}}}{xy}=\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{xyz}=-1\)

這題值得再想想…..

[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 10:16 PM 編輯 [/i]]

Ellipse 發表於 2014-6-13 22:32

回復 2# hua0127 的帖子

hua0127 兄說#8一定有更快的做法,於是小弟就花點時間想這題~
剛開始想用根與係數方式,後來發現行不通~
於是換個想法,想到一個妙解~不用將它們全部展開再分解~
#8
令x+y+z=s,將原式改成
[x²-(y+z)²] /(y+z)  + [y²-(z+x)²] /(z+x)  +[z²-(x+y)²] /(x+y) = -2(x+y+z)=-2s
s*[x-(y+z)] /(y+z)  + s*[y-(z+x)] /(z+x)  +s*[z-(x+y)] /(x+y) = -2s
[x-(y+z)] /(y+z)  + [y-(z+x)] /(z+x)  +[z-(x+y)] /(x+y) = -2  (因s不為0)
x/(y+z)  + y/(z+x)  +z /(x+y)  -3 = -2
所以x/(y+z)  + y/(z+x)  +z /(x+y)  =1

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-13 10:41 PM 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2014-6-13 22:58

第2小題
易知\(x,y,z\ne 0\)

\(\begin{align}
  & \frac{{{x}^{2}}}{y+z}=-\frac{{{y}^{2}}}{z+x}-\frac{{{z}^{2}}}{x+y} \\
& \frac{x}{y+z}=-\frac{{{y}^{2}}}{zx+{{x}^{2}}}-\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}+xy} \\
& \frac{y}{z+x}=-\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}+yz}-\frac{{{z}^{2}}}{xy+{{y}^{2}}} \\
& \frac{z}{x+y}=-\frac{{{x}^{2}}}{yz+{{z}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}+zx} \\
&  \\
& \frac{1}{{{y}^{2}}+yz}+\frac{1}{yz+{{z}^{2}}}=\frac{1}{y\left( y+z \right)}+\frac{1}{z\left( y+z \right)}=\frac{z+y}{yz\left( y+z \right)}=\frac{1}{yz} \\
& \frac{1}{{{z}^{2}}+zx}+\frac{1}{zx+{{x}^{2}}}=\frac{1}{zx} \\
& \frac{1}{{{x}^{2}}+xy}+\frac{1}{xy+{{y}^{2}}}=\frac{1}{xy} \\
&  \\
& \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=-\left( \frac{{{x}^{2}}}{yz}+\frac{{{y}^{2}}}{zx}+\frac{{{z}^{2}}}{xy} \right) \\
& \frac{{{x}^{2}}}{yz}+\frac{{{y}^{2}}}{zx}+\frac{{{z}^{2}}}{xy}=-1 \\
\end{align}\)

hua0127 發表於 2014-6-13 23:21

回復 4# thepiano 的帖子

哇~~這真的是太神了~這方法才對嘛:)

Ellipse 發表於 2014-6-14 11:08

[quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2014-6-13 11:21 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11156&ptid=1932][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
哇~~這真的是太神了~這方法才對嘛:) [/quote]
鋼琴兄的神算比小弟還厲害~
這題難在想從A(原條件)走到B(所求)
中間的足跡(線索)幾乎都被抹掉了
要很細心,很仔細去反推這些數運算的性質
才能把足跡慢慢的顯現出來~

只是很好奇這些題目原出處是哪裡?
是否可請原PO說一下
這些給"一般"高中資優生來做
應該是不容易想出來吧?

還是很佩服出這題的作者
畢竟我們只是解題者而已

Amis 發表於 2014-6-19 07:59

回復 6# Ellipse 的帖子

原出處我不是很清楚,
這題目好像是某補習班老師在為一些資優教育訓練所出的題目,
我也是被別人拿來問,
想說po上來和大家討論一下!

謝謝大家的熱情討論~

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