﻿ 高中數學資優題(頁 1) - 高中的數學 - I：數與函數 - Math Pro 數學補給站

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「接納自己」。

### 高中數學資優題

7.

(i)試求出$$\alpha^3+\beta^3+\gamma^3$$的值；
(ii)試求出$$(\alpha^2+1)(\beta^2+1)(\gamma^2+1)$$的值；
(iii)已知$$\alpha,\beta,\gamma$$滿足$$\displaystyle \left| \frac{\beta}{\alpha} \right|<1<\gamma$$，試求出$$\displaystyle \frac{\beta}{\alpha} \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{\beta}{\alpha} \right)^k \right] \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{\alpha}{\gamma} \right)^k \right] \left[ \sum_{k=0}^{\infty} \left( -\frac{\beta}{\gamma} \right)^k \right]$$的值。

8.

(i)$$\displaystyle \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}$$的值；

(ii)$$\displaystyle \frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}$$的值。

### 回復 1# Amis 的帖子

7(III)：

$$\frac{\beta }{\gamma }\cdot \frac{1}{1+\frac{\beta }{\alpha }}\cdot \frac{1}{1+\frac{\alpha }{\gamma }}\cdot \frac{1}{1+\frac{\beta }{\gamma }}=\frac{\alpha \beta \gamma }{\left( \alpha +\beta \right)\left( \beta +\gamma \right)\left( \gamma +\alpha \right)}=\frac{-1}{f\left( 6 \right)}=\frac{-1}{19}$$

8. 一定有更快的做法，我這作法很暴力，毫無美感冏，看看就好…
$$\frac{{{x}^{2}}}{\left( y+z \right)}+\frac{{{y}^{2}}}{\left( z+x \right)}+\frac{{{z}^{2}}}{\left( x+y \right)}=\frac{{{x}^{2}}\left( z+x \right)\left( x+y \right)+{{y}^{2}}\left( y+z \right)\left( x+y \right)+{{z}^{2}}\left( y+z \right)\left( z+x \right)}{\left( y+z \right)\left( z+x \right)\left( x+y \right)}=0$$  考慮將上式因式分解，利用輪換的觀念，發現有x+y+z之因式，故得到
$$\frac{\left( x+y+z \right)\left( {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+xyz \right)}{\left( y+z \right)\left( z+x \right)\left( x+y \right)}=0\Rightarrow {{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+xyz=0$$
(i) 所求為
$$\frac{x}{\left( y+z \right)}+\frac{y}{\left( z+x \right)}+\frac{z}{\left( x+y \right)}=\frac{x\left( z+x \right)\left( x+y \right)+y\left( y+z \right)\left( x+y \right)+z\left( y+z \right)\left( z+x \right)}{\left( y+z \right)\left( z+x \right)\left( x+y \right)}$$
$$=\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}+xyz+\left( y+z \right)\left( z+x \right)\left( x+y \right)}{\left( y+z \right)\left( z+x \right)\left( x+y \right)}=1$$

103.06.13 謝謝鋼琴老師指正，中間有計算錯誤，已修正

(ii) 所求為$$\frac{{{x}^{2}}}{yz}+\frac{{{y}^{2}}}{zx}+\frac{{{z}^{2}}}{xy}=\frac{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}+{{z}^{3}}}{xyz}=-1$$

[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 10:16 PM 編輯 [/i]]

### 回復 2# hua0127 的帖子

hua0127 兄說#8一定有更快的做法,於是小弟就花點時間想這題~

#8

[x²-(y+z)²] /(y+z)  + [y²-(z+x)²] /(z+x)  +[z²-(x+y)²] /(x+y) = -2(x+y+z)=-2s
s*[x-(y+z)] /(y+z)  + s*[y-(z+x)] /(z+x)  +s*[z-(x+y)] /(x+y) = -2s
[x-(y+z)] /(y+z)  + [y-(z+x)] /(z+x)  +[z-(x+y)] /(x+y) = -2  (因s不為0)
x/(y+z)  + y/(z+x)  +z /(x+y)  -3 = -2

[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-13 10:41 PM 編輯 [/i]] 第2小題

\begin{align} & \frac{{{x}^{2}}}{y+z}=-\frac{{{y}^{2}}}{z+x}-\frac{{{z}^{2}}}{x+y} \\ & \frac{x}{y+z}=-\frac{{{y}^{2}}}{zx+{{x}^{2}}}-\frac{{{z}^{2}}}{{{x}^{2}}+xy} \\ & \frac{y}{z+x}=-\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{2}}+yz}-\frac{{{z}^{2}}}{xy+{{y}^{2}}} \\ & \frac{z}{x+y}=-\frac{{{x}^{2}}}{yz+{{z}^{2}}}-\frac{{{y}^{2}}}{{{z}^{2}}+zx} \\ & \\ & \frac{1}{{{y}^{2}}+yz}+\frac{1}{yz+{{z}^{2}}}=\frac{1}{y\left( y+z \right)}+\frac{1}{z\left( y+z \right)}=\frac{z+y}{yz\left( y+z \right)}=\frac{1}{yz} \\ & \frac{1}{{{z}^{2}}+zx}+\frac{1}{zx+{{x}^{2}}}=\frac{1}{zx} \\ & \frac{1}{{{x}^{2}}+xy}+\frac{1}{xy+{{y}^{2}}}=\frac{1}{xy} \\ & \\ & \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=-\left( \frac{{{x}^{2}}}{yz}+\frac{{{y}^{2}}}{zx}+\frac{{{z}^{2}}}{xy} \right) \\ & \frac{{{x}^{2}}}{yz}+\frac{{{y}^{2}}}{zx}+\frac{{{z}^{2}}}{xy}=-1 \\ \end{align}