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tsyr 發表於 2014-6-9 19:53

4題請教

數學競賽問題再請教
對不起,問題有點多
前兩天才註冊
之前累積的問題太多了
辛苦各位了

tsyr 發表於 2014-6-9 20:02

4題內容

1.        在下方3×3的九宮格內,將九個不同的數字1、2、3、4、5、6、7、8、9分別填入不同的小方格中,使得七個三位數abc、def、ghi、adg、beh、cfi和aei都能被11整除;求三位數ceg的最大值為________。


2.        一個2013位數的正整數的首位數碼是5,並且任何兩個相鄰的數碼所組成的兩位數一定是13或27的倍數。請問這個數的個位數所有不同可能的值之和是___________。

3.        在算式 中,從第二個括弧開始,每一個括弧內的和式都是由前一個括弧內的和式刪掉第一項之後而得到的。當n = 2013 時,請問這一個算式的值是_________。

4.        將八枚硬幣正面朝上排成一行。每一次操作,我們可將兩枚相鄰且都是正面朝上或都是背面朝上的硬幣同時翻轉。經過若干次操作後,請問總共可以得到___________種正面和背面的不同排列型式。

圖在上方檔案裡

hua0127 發表於 2014-6-15 00:43

回復 2# tsyr 的帖子

來解個第1題:
基本上是利用整除的性質,但一開始試得有點亂,把7個條件全套下去用~
之後七拼八湊把答案湊了出來但自己都搞不清楚順序,後來整理一下思緒:

一開始只需使用abc、def、ghi被11整除,故有
\(\left. 11 \right|\left( a+c-b \right)+\left( d+f-e \right)+\left( g+h-i \right)\Rightarrow \left. 11 \right|45-2\left( b+e+h \right)\), 所以
\(\left( b+e+h \right)\equiv 6\left( \bmod \ \ 11 \right)\), 結合 \(\left( b+h \right)\equiv e\left( \bmod \ \ 11 \right)\), 有\(2e\equiv 6\left( \bmod \ \ 11 \right)\Rightarrow e\equiv 3\left( \bmod \ \ 11 \right)\Rightarrow e=3\).
因為def、beh、aei被11整除, \(\left( d+f \right)\equiv \left( b+h \right)\equiv \left( a+i \right)\equiv 3\left( \bmod \ \ 11 \right)\)
故\(d+f,b+h,a+i\in \left\{ 3,14 \right\}\), 又\(14=9+5=8+6,3=2+1\), 所以
\(\left\{ d,f,b,h,a,i,e \right\}=\left\{ 9,5,8,6,2,1,3 \right\}\Rightarrow \left\{ c,g \right\}=\left\{ 4,7 \right\}\), 三位數ceg最大為734 且滿足adg、cfi 都能被11整除。

蠻漂亮的問題,不知道出處為何?

tsyr 發表於 2014-6-15 07:39

謝謝老師!
剛開始的確會亂掉

這題是城市杯「初賽」的題目
雖然前面比較簡單,但後面幾題都還蠻漂亮的
去年有去比國際賽,隊際賽都有兼具深度與創意

[[i] 本帖最後由 tsyr 於 2014-6-15 07:47 AM 編輯 [/i]]

tsyr 發表於 2014-6-15 07:48

第二題

順便說一下第二題好了~~我湊了好久
從第2013位數5開始討論:

1.  5後面一定要接2或4,但十位數為4者沒有13或27的倍數-->5後面一定要接2
(除非為個位數--等一下再討論)
2.  2後面接6或7,有兩種情況:
(1)接7,則7-->8-->1-->3-->9-->1-->3-->9(......一直循環下去)
(2)若接6,如下面3.討論
3.  6後面一定要接5-->又繞回原來的5了,討論方法同(1)和(2)
因此歸納出2個循環方式
<i>5-->2-->7-->8-->1-->3-->9-->1-->3-->9
<ii>5-->2-->6-->5-->2-->6-->5-->2-->6-->5
和另一個非循環方式
<iii>5-->2-->6-->......5-->2-->7-->8-->1-->3-->9-->1-->3-->9
即循環方式<i>可在任何出現5-->2的位置順接於循環方式<ii>上
現在觀察2013這個數,因為要避開剛才說的(除非為個位數--等一下再討論)
所以先觀察這2013位數的十位數(從頭數來第2012個數)
依照循環方式<i>,第2012個數為1
依照循環方式<ii>,第2012個數為2
依照方式<iii>,發現不論循環方式<ii>順接於循環方式<i> 的何處,第2012個數都為1
所以最後得到,第2012個數(十位數)的所的所有可能為1和2
-->個位數的所有可能為3和6和7
故所求=3+6+7=16

好複雜~~

有更快的方法or更不容易出錯的方法嗎?

[[i] 本帖最後由 tsyr 於 2014-6-15 05:04 PM 編輯 [/i]]

tsyr 發表於 2014-6-15 07:53

剩第4題了
條件不知道要怎麼用

thepiano 發表於 2014-6-15 11:12

回復 6# tsyr 的帖子

第 4 題
一開始偶數位是 4 個正面朝上,奇數位也是 4 個正面朝上
每次操作都是把相鄰的 1 個偶數位和 1 個奇數位的硬幣同時變成反面或正面
所以不管操作幾次,偶數位正面朝上的個數 = 奇數位正面朝上的個數

(1) 偶數位正面朝上的個數 = 奇數位正面朝上的個數 = 0,只有 1 種情形
(2) 偶數位正面朝上的個數 = 奇數位正面朝上的個數 = 1,有 [C(4,1)]^2 = 16 種情形
(3) 偶數位正面朝上的個數 = 奇數位正面朝上的個數 = 2,有 [C(4,2)]^2 = 36 種情形
(4) 偶數位正面朝上的個數 = 奇數位正面朝上的個數 = 3,有 [C(4,3)]^2 = 16 種情形
(5) 偶數位正面朝上的個數 = 奇數位正面朝上的個數 = 4,只有 1 種情形

加起來共 70 種

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-15 11:29 AM 編輯 [/i]]

tsyr 發表於 2014-6-15 17:08

偶數位正面朝上的個數 = 奇數位正面朝上的個數

原來......這麼簡...單...

[b][u]偶數位正面朝上的個數 = 奇數位正面朝上的個數[/u][/b]
太巧妙了

謝謝老師

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