103鳳新高中
幫版友po的1.有12個座位,先請12人坐下(1對1),接著再請這12人起立後坐下,
但規定只能坐原位或隔壁座位,問這樣共有幾種排列?
2.Sigma {k=o to infinity} [ (n+2^k)/2^(k+1)] =? (以n表示)
其中[ ]符號表示"下高斯"
(這題答案小弟算n)
聽說題目爆難~
筆試成績出來了,130(含缺考)只有約2x人40分以上
103.6.11補充
以下資料供以後的考生參考：
初試最低錄取分數 44分
65,55,52,50,50,48,47,47,46,45,45,44,44
(44分有2人增額錄取參加複試)
40~43分 10人
30~39分 28人
20~29分 25人
10~19分 27人
0~ 9分 20人
缺考 7人
共計 130 人
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-11 06:38 PM 編輯 [/i]]
回復 1# Ellipse 的帖子
第2題幫確定(集氣)是n,\( \displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty }{\left[ \frac{n+{{2}^{k}}}{{{2}^{k+1}}} \right]}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{\left( \left[ \frac{n}{{{2}^{k}}} \right]-\left[ \frac{n}{{{2}^{k+1}}} \right] \right)}=\left[ n \right]=n,\forall n\in \mathbb{N}\)
回復 2# hua0127 的帖子
第 2 題. 好神的算式...看不懂另證. 令 \( f(n) = \displaystyle \sum_{k=0}^\infty \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right], n \in \mathbb{N} \)
設 \( p, m \in \mathbb{N}_0 \)，有以下性質
1. 若 \( \displaystyle p<2^{m}, \left[\frac{p+2^{m}+2^{k}}{2^{k+1}}\right]=\begin{cases}
\frac{2^{m}}{2^{k+1}}+\left[\frac{p+2^{k}}{2^{k+1}}\right] & \mbox{, if }k<m\\
1 & \mbox{, if }k=m\\
0 & \mbox{, if }k>m
\end{cases} \)
.
2. 若 \( p<2^{m} \)，則 \( \displaystyle f(p+2^m) = f(p) + \sum_{k=0}^{m-1}\frac{2^{m}}{2^{k+1}}+1=f(p) + 2^{m} \)
把 \( n \) 寫成2進制，重復使用性質 2，即得 \( f(n) = n \)。
---------------
好像看懂了，是用了 \( [x] + [x+\frac12] = [2x] \) 移項得 \( [ x + \frac12] = [2x] - [x] \)
取 \( x = \frac{n}{2^{k+1}} \) 代入上式，是這樣沒錯吧？
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-9 05:27 PM 編輯 [/i]] 1.
用3枝10公尺長的竹竿，沿著河岸圍出一個等腰梯形。試求此等腰梯形的最大面積。
(我的教甄準備之路 用算幾不等式解三角函數的極值，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1077[/url])
2.
擲一個不均勻硬幣，設出現正面的機率\( \displaystyle \frac{2}{3} \)，出現反面的機率\( \displaystyle \frac{1}{3} \)。現有一質點位在一數線上的原點，投擲此硬幣，當出現正面時，質點往正向一單位；出現反面時，質點往負向一單位，試問：持續投擲硬幣，質點能落在-1的機率？
(許介彥，跌跌撞撞的機率，[url]https://www.sec.ntnu.edu.tw/uploads/asset/data/6256414d381784d09345be0d/42%E8%B7%8C%E8%B7%8C%E6%92%9E%E6%92%9E%E7%9A%84%E6%A9%9F%E7%8E%87.pdf[/url])
計算12.
設\( [x] \)表示不超過x的最大整數，\( n \in N \)，求\( \displaystyle \sum_{k=0}^{\infty} \left[ \frac{n+2^k}{2^{k+1}} \right] \)(以n表示)
Let n be a natural number.Prove that
\( \displaystyle \Bigg\lfloor\; \frac{n+2^0}{2^1} \Bigg\rfloor\;+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^1}{2^2} \Bigg\rfloor\;+...+\Bigg\lfloor\; \frac{n+2^{n-1}}{2^n} \Bigg\rfloor\;=n \).
(1968IMO，[url=http://www.artofproblemsolving.com/Forum/resources.php?c=1&cid=16&year=1968]http://www.artofproblemsolving.c ... =1&cid=16&year=1968[/url])
回復 6# tsusy 的帖子
寸絲兄你這個算式才神吧 XD是用了 \(\displaystyle \left[ x \right]+\left[ x+\frac{1}{2} \right]=\left[ 2x \right]\) 沒錯
回復 8# hua0127 的帖子
您一行秒證，我寫了 5 行跟您的神蹟比起來，我就像在鬼畫符一樣 先挑軟柿仔:
13.(反証法)
假設三個方程式都沒有實根,則D<0
(2b)²-4ac<0 =>b²<ca------------(1)
(2c)²-4ba<0 =>c²<ab------------(2)
(2a)²-4cb<0 =>a²<bc------------(3)
(1)+(2)+(3)得
a²+b²+c²<ab+bc+ca
<=>
(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²<0 ( -><- ) contradiction~
14.之前才討論過~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-9 09:15 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-6-9 05:03 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11054&ptid=1928][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
80 人去考
2 個 50 分以上
10 個 40 分以上
剛好這 12 人進複試 [/quote]
好像不只80人耶~(約12x考)
40分以上有2x
回復 11# Ellipse 的帖子
少看一頁，更正如下：123 人去考
1 個 65
4 個 50 分以上
8 個 44 分以上
這 13 人進複試 [quote]原帖由 [i]Ellipse[/i] 於 2014-6-9 04:18 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11050&ptid=1928][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
1.有12個座位,先請12人坐下(1對1),接著再請這12人起立後坐下,
但規定只能坐原位或隔壁座位,問這樣共有幾種排列? [/quote]
這一題是費氏數列
a_1 = 1，a_2 = 2
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
a_12 = 233 [quote]原帖由 [i]thepiano[/i] 於 2014-6-9 08:21 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11067&ptid=1928][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
這一題是費氏數列
a_1 = 1，a_2 = 2
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
a_12 = 233 [/quote]
太強了吧?
這樣您都可以連結~~ 填1:
請看附件.gif
當角BCD=60度時
等腰梯形面積為最大
過程請先想一下~
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-9 09:19 PM 編輯 [/i]] 填充1，
設下底(靠河岸的邊)為10+2x，
則高為(100-x^2)^0.5
面積為(10+x)* h = [(10+x)^3 (10-x) ] ^0.5
令f(x) = (10+x)^3 (10-x)
可求出x=5時，f(x)有極大值 解一題填充2：
以前看過類似的題目，是兩人賭錢的問題求某人把錢贏光的機率：
本題假設\(\left\{ {{P}_{n}} \right\}\)的一般項\({{P}_{k}}\)表示一開始位置落在數線上\(k\)時，質點能落在-1的機率，則所求為\({{P}_{0}}\).
(1) 先觀察 \({{P}_{0}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{{P}_{1}}\),
(2) \({{P}_{1}}\)表示一開始在1要走到-1的機率，由乘法原理，可以拆成兩個步驟：1走到0, 0走到-1，兩步驟機率都是\({{P}_{0}}\), 故\({{P}_{1}}={{\left( {{P}_{0}} \right)}^{2}}\)
(3) 代回上式，解\({{P}_{0}}=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{{\left( {{P}_{0}} \right)}^{2}}\Rightarrow {{P}_{0}}=\frac{1}{2}\) (向右的機率比較大，故\({{P}_{0}}=1\)不合)
這題值得一提的是，若向右向左的機率依樣時，則不斷持續的擲下去，百分之百會跑到-1, 有點不太直觀。
(剛剛看到版主有在 #2 附上本題的相關文章，寫得比我清楚多了，大家也可以參考)
填充3： \(\int_{0}^{4}{\frac{1}{\sqrt{x}}dx}\)
填充4：跟103武陵高中第9題類似，作法差不多
填充5：生成函數或者重複組合
填充7：好像有公式，不太確定能不能用紅球與非紅球的觀念下去帶
填充10：不論是哪連續三列寫開，答案都是 1 / 2
計算11：
之前看過寸絲兄用過的神招，印象深刻，算是現學現賣XD
考慮拋物線 \({{y}^{2}}=8px\), 過焦點\(\left( 2p,0 \right)\)與拋物線所截的所有線段中，以正焦弦所在直線\(x=2p\)所截的長度為最短。考慮線性映射\(\left( x,y \right)\mapsto \left( x,\frac{y}{2} \right)\) ,將\(y\)座標壓(伸縮)為\(\frac{1}{2}\)倍，可得到拋物線\({{y}^{2}}=2px\) , 故過\(\left( 2p,0 \right)\)與此拋物線所截的所有線段中，亦以直線\(x=2p\)所截的長度為最短，證畢。
103.07.26 小弟這邊處理的不夠細膩，請在參閱寸絲兄在 #27 的補充說明。
計算15：
用Jacobian證：
考慮\(x=0,y=0,z=0,x={{d}_{1}},y={{d}_{2}},z={{d}_{3}}\) 所圍區域體積為\(V=\left| {{d}_{1}}{{d}_{2}}{{d}_{3}} \right|\)
考慮線性變換：
\( \displaystyle \left\{ \begin{align}
& x={{a}_{1}}x'+{{b}_{1}}y'+{{c}_{1}}z' \\
& y={{a}_{2}}x'+{{b}_{2}}y'+{{c}_{2}}z' \\
& z={{a}_{3}}x'+{{b}_{3}}y'+{{c}_{3}}z' \\
\end{align} \right.\Rightarrow \frac{\partial \left( x,y,z \right)}{\partial \left( x',y',z' \right)}=\left| \begin{matrix}
{{a}_{1}} & {{b}_{1}} & {{c}_{1}} \\
{{a}_{2}} & {{b}_{2}} & {{c}_{2}} \\
{{a}_{3}} & {{b}_{3}} & {{c}_{3}} \\
\end{matrix} \right|=\Delta \)
則\( \displaystyle V'=\left| \frac{\partial \left( x',y',z' \right)}{\partial \left( x,y,z \right)} \right|V=\frac{V}{\Delta }\), 得證
純幾何的方式可能等高手待補，這一塊小弟不是很擅長XD
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-7-26 08:10 PM 編輯 [/i]] 請問填充第六解法中 a_n是指有n人時候符合規定之牌法
a_1 = 1，a_2 = 2
a_n = a_(n-1) + a_(n-2) <------------------這條要怎想呢
a_12 = 233
__________________________
另外填充第五題
我利用重複組合概念與集合概念
計算得 C(17,11)-7*C(12,6)=5908 <-----有錯嗎@@
回復 15# 瓜農自足 的帖子
第 6 題設 a_n 是 n 個小朋友重新入座的方法數
(1) 第 n 個人坐回原座位，有 a_(n-1) 種方法
(2) 第 n 個人與第 (n-1) 人互換，有 a_(n-2) 種方法
故 a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
第 5 題
應要把有 2 個箱子在 7 球(含) 以上的情形"加"回來才對，因為這部份重複扣了二次
[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-6-12 12:15 AM 編輯 [/i]] 謝謝鋼琴師
___________________________________
想請問第十題怎麼證連三列，式子都是1/2呢
以及第十題想請教用解析幾何解法
回復 17# 瓜農自足 的帖子
第10題給你參考:)假設第k列、第k+1列、第k+2列的一般項為\({{a}_{i}},{{b}_{i}},{{c}_{i}}\) 則\( \displaystyle \sum\limits_{i=0}^{k+1}{\frac{{{b}_{i}}}{{{c}_{i}}}}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\frac{{{a}_{i}}}{{{b}_{i}}}}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}{\frac{C_{i}^{k+1}}{C_{i}^{k+2}}}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\frac{C_{i}^{k}}{C_{i}^{k+1}}}=\sum\limits_{i=0}^{k+1}{\left( 1-\frac{i}{k+2} \right)}-\sum\limits_{i=0}^{k}{\left( 1-\frac{i}{k+1} \right)}=\frac{1}{2}\)
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-12 09:38 AM 編輯 [/i]]
回復 18# hua0127 的帖子
謝謝hua師，原來就純粹化簡就可相消。另外想請問第八題，訂座標方法感覺挺繁複的，應該有個性質沒用到，無法化繁為簡...
回復 19# 瓜農自足 的帖子
第8題：一開始我也想說用向量解~但這想法解到一半就有點複雜~
如圖觀察此圓為三角形\(CBZ\)的內切圓，令\(\overline{AD}=2r,\overline{CD}=\overline{CF}=x,\overline{BD}=\overline{BE}=y,\overline{ZE}=\overline{ZF}=z\),
則由母子相似性質, \({{\left( 2r \right)}^{2}}=xy\), 再結合 \({{r}^{2}}=\frac{xyz}{\left( x+y+z \right)}\)(由海龍公式推得),
可得知\(x+y=3z\), 故 \(\overline{ZB}+\overline{ZC}=10\Rightarrow x+y+2z=10\Rightarrow z=2\Rightarrow x+y=6\)
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 08:56 PM 編輯 [/i]]