1999TRML思考賽
\[\sum\limits_{a = 1}^m {\sum\limits_{c = 1}^m {|a - c| = \frac{{{1}}}{3}} m({m^2} - 1)} \]這個等式要如何推導??
回復 1# shingjay176 的帖子
我先拆一個sigma後考慮a到數線上1,2,3,...,m的距離和去看：變成\(\sum\limits_{a=1}^{m}{\left( \left| a-1 \right|+\left| a-2 \right|+...+\left| a-m \right| \right)}=\sum\limits_{k=1}^{m}{\left[ \left( 1+2+...+\left( m-k \right) \right)+\left( 1+2+...+\left( k-1 \right) \right) \right]}\)
在化簡成\(\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{k=1}^{m}{\left( {{m}^{2}}+m \right)+}2\sum\limits_{k=1}^{m}{{{k}^{2}}}-2\left( m+1 \right)\sum\limits_{k=1}^{m}{k} \right)\)
化簡完即為所求
只是不知道有沒有更快的方式，待補
回復 1# shingjay176 的帖子
注意 \( c=a \) 時 \( |a-c| = 0 \)，及 \( |x-y| = |y-x| \)故 \( \displaystyle \sum\limits _{a=1}^{m}\sum\limits _{c=1}^{m}|c-a|=2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{c=a+1}^{m}|c-a| \)
令 \( p = c-a, q = m-a+1 \)，
則 \( \displaystyle 2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{c=a+1}^{m}|c-a| = 2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{p=1}^{m-a}p=2\sum\limits _{a=1}^{m-1}C_{2}^{m-a+1}=2\sum\limits _{q=2}^{m}C_{2}^{q}=2C_{3}^{m+1}=\frac{m^{3}-m}{3} \)
上行，第四個等號用了帕斯卡定理
回復 3# tsusy 的帖子
這....真的是太神了(拜回復 3# tsusy 的帖子
我後來全部寫開來，也是想到 hua0127老師的作法。寸絲的解法，快又神~
1999TRML思考賽3題
老師們好，1999年TRML的思考賽最後三題（問題8~10）
想了很久都不知道怎麼解，
有跟身邊幾位認識的老師討論過，
但還是沒有想法，
煩請老師們指點，感激不盡。
回復 1# ycdye 的帖子
8. 認真做9. 如詳解第三行，B 部分的 Winner 數 = 10
P 到 H(n-1) 的各點距離和為 \( (1+2+3+...+2n-1) + (2+3+4+...+2n) = 4n^2 - 1 \)
(上半部 + 下半部)
S 到 H(n-1) 的各點距離和亦為 \( 4n^2 - 1 \)
Q 到 H(n-1) 的各點距離和亦為 \( (4n^2 - 1) + 2(2n-1) = 4n^2 + 4n -3 \)
R 到 H(n-1) 的各點距離和亦為 \( (4n^2 - 1) + 2(2n-1) = 4n^2 + 4n -3 \)
加總得 \( W(H(n)) - W(H(n-1)) = 16n^2 + 8n +2 \)
10. 當 \( n\geq 2 \) 時， \( W(H(n)) = W(H(1)) + \sum_{k=2}^n W(H(k)) - W(H(k-1)) \)
計算可得結論 之前算不出來，
一直覺得是自己思維出錯，
看了寸絲老師的回覆，
發現分類的方式是一樣的，
再仔細一看原來是我在解題過程中計算出錯，
真的很感謝老師！！！
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