Math Pro 數學補給站's Archiver

三助:自助、人助、天助。

shingjay176 發表於 2014-6-9 13:41

1999TRML思考賽

\[\sum\limits_{a = 1}^m {\sum\limits_{c = 1}^m {|a - c| = \frac{{{1}}}{3}} m({m^2} - 1)} \]
這個等式要如何推導??

hua0127 發表於 2014-6-9 14:34

回復 1# shingjay176 的帖子

我先拆一個sigma後考慮a到數線上1,2,3,...,m的距離和去看:
變成\(\sum\limits_{a=1}^{m}{\left( \left| a-1 \right|+\left| a-2 \right|+...+\left| a-m \right| \right)}=\sum\limits_{k=1}^{m}{\left[ \left( 1+2+...+\left( m-k \right) \right)+\left( 1+2+...+\left( k-1 \right) \right) \right]}\)
在化簡成\(\frac{1}{2}\left( \sum\limits_{k=1}^{m}{\left( {{m}^{2}}+m \right)+}2\sum\limits_{k=1}^{m}{{{k}^{2}}}-2\left( m+1 \right)\sum\limits_{k=1}^{m}{k} \right)\)
化簡完即為所求
只是不知道有沒有更快的方式,待補

tsusy 發表於 2014-6-9 14:41

回復 1# shingjay176 的帖子

注意 \( c=a \) 時  \( |a-c| = 0 \),及 \( |x-y| = |y-x| \)

故 \( \displaystyle \sum\limits _{a=1}^{m}\sum\limits _{c=1}^{m}|c-a|=2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{c=a+1}^{m}|c-a| \)

令 \( p = c-a,  q = m-a+1 \),

則 \( \displaystyle 2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{c=a+1}^{m}|c-a| = 2\sum\limits _{a=1}^{m-1}\sum\limits _{p=1}^{m-a}p=2\sum\limits _{a=1}^{m-1}C_{2}^{m-a+1}=2\sum\limits _{q=2}^{m}C_{2}^{q}=2C_{3}^{m+1}=\frac{m^{3}-m}{3} \)
上行,第四個等號用了帕斯卡定理

hua0127 發表於 2014-6-9 15:05

回復 3# tsusy 的帖子

這....真的是太神了(拜

shingjay176 發表於 2014-6-9 22:07

回復 3# tsusy 的帖子

我後來全部寫開來,也是想到        hua0127老師的作法。
寸絲的解法,快又神~

ycdye 發表於 2015-8-18 16:04

1999TRML思考賽3題

老師們好,
1999年TRML的思考賽最後三題(問題8~10)
想了很久都不知道怎麼解,
有跟身邊幾位認識的老師討論過,
但還是沒有想法,
煩請老師們指點,感激不盡。

tsusy 發表於 2015-8-18 16:32

回復 1# ycdye 的帖子

8. 認真做

9. 如詳解第三行,B 部分的 Winner 數 = 10
   P 到 H(n-1) 的各點距離和為 \( (1+2+3+...+2n-1) + (2+3+4+...+2n) = 4n^2  - 1  \)
                                                               (上半部 + 下半部)
  S 到 H(n-1) 的各點距離和亦為 \( 4n^2 - 1 \)
  Q 到 H(n-1) 的各點距離和亦為 \( (4n^2 - 1) + 2(2n-1) = 4n^2 + 4n -3 \)
  R 到 H(n-1) 的各點距離和亦為 \( (4n^2 - 1) + 2(2n-1) = 4n^2 + 4n -3 \)
加總得 \( W(H(n)) - W(H(n-1)) = 16n^2 + 8n +2 \)

10. 當 \( n\geq 2 \) 時, \( W(H(n)) = W(H(1)) + \sum_{k=2}^n W(H(k)) - W(H(k-1)) \)
計算可得結論

ycdye 發表於 2015-8-18 20:24

之前算不出來,
一直覺得是自己思維出錯,
看了寸絲老師的回覆,
發現分類的方式是一樣的,
再仔細一看原來是我在解題過程中計算出錯,
真的很感謝老師!!!

頁: [1]

論壇程式使用 Discuz! Archiver   © 2001-2022 Comsenz Inc.