103松山家商
想先問一下填充6和計算2,3....感恩[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-19 07:12 AM 編輯 [/i]] 6. 坐標平面上三角形ABC﹐其中A(2, 1)，......，試問直線BC方程式 。
直線L1：x+y=1
直線L2：x-2y=2
A對L1做對稱點(0,-1)
A對L2做對稱點(14/5,-3/5)
所作之對稱點會在BC直線上
另外小弟想要請教一下第一題，我相減之後>0討論a、b、c三者為正或負或0的情形之下。
不知有無更快作法?
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計算 1. 秒證，展開 \( (a-b)(b-c)(c-a) < 0 \)，移項得證順帶放幾個[b]填充 6[/b] 的類題
(1) 101文華高中：\( \triangle ABC \) 中，\( A(2,-4) \)，若 \( \angle B \)、\( \angle C \) 之角平分線分別為 \( L_{1}:\, x+y-2=0 \) 及 \( L_{2}:\, x-3y-6=0 \)，則 \( \overleftrightarrow{BC} \) 之方程式為 \( \underline{\qquad\qquad} \)。
(2) 98曉明女中：\( \triangle ABC \) 中，\( A \) 坐標為 \( (-7,15) \)，\( \angle B \) 和 \( \angle C \) 的平分線方程式各為 \( 2x-y+4=0 \), \( x+7y+2=0 \)，求 \( B \) 點和 \( C \) 點的坐標。
[b]填充 8 類題[/b]
(1) 100文華高中代理：\( \lim\limits _{x\to4}\frac{\int_{4}^{x}\frac{1}{t+\sqrt{t}}dt}{x-4} \)。
(2) 100文華高中代理：若 \( f(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}}\frac{t^{2}}{1+t^{2}+t^{4}}dt \)，試求 \( f''(1) \)。
(3) 98台北縣聯招：設 \( F(x)=\int_{0}^{x^{2}}\frac{1}{1+\sin^{2}t}dt \)，則導函數 \( F'(x) \) 為何？
(4) 99家齊女中： \( \lim\limits _{x\to0}\frac{\int_{x^{2}}^{x^{3}}\sqrt{1+t^{2}}dt}{x^{2}}=\underline{\qquad\qquad} \)。
[b]填充 9 類題[/b]
(1) 100中正高中：已知平面上一點 P，其到正 \( \triangle ABC \) 的三個頂點距離分別為 1, 2, 3，試求正 \( \triangle ABC \) 的面積。
(2) 99松山高中、102南科實中：正 \( \triangle ABC \) 內部一點 \( P \)，已知 \( \overline{PA}=6 \), \( \overline{PB}=8 \), \( \overline{PC}=10 \)，求 \( \triangle ABC \) 面積。
(3) 100師大附中、100苑裡高中：設 \( \triangle ABC \) 為等邊三角形，\( D \) 為 \( \triangle ABC \) 內的點。已知 \( \overline{DA}=13 \), \( \overline{DB}=12 \), \( \overline{DC}=5 \)，求 \( \triangle ABC \) 的邊長 。
(4) 99萬芳高中：\( ABCD \) 為正方形, \( P \) 為內部一點, \( \overline{PA}=3 \), \( \overline{PB}=4\sqrt{2} \), \( \overline{PD}=5\sqrt{2} \)，求正方形 \( ABCD \) 的面積。
(5) 100彰化藝術暨田中高中：已知 \( P \) 為正方形 \( ABCD \) 內部的一點，若 \( \overline{AP}=7,\,\overline{BP}=5,\,\overline{CP}=1 \)，試求正方形 \( ABCD \) 的面積。
(6) 正方形 \( ABCD \) 中一點 \( P \)，已知 \( \overline{PA}=7,\,\overline{PB}=3,\,\overline{PC}=5 \)，求此正方形的的面積。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-11 11:30 PM 編輯 [/i]]
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計算3：提供一個無美感的硬算：
\(f'\left( x \right)=\left( x-b \right){{\left( x-c \right)}^{2}}g\left( x \right)\), 其中\(g\left( x \right)=\left( x-b \right)\left( x-c \right)+2\left( x-a \right)\left( x-c \right)+3\left( x-a \right)\left( x-b \right)\)
(1) 觀察\(x=b\)跟 \(g\left( x \right)=0\) 的兩根為產生極值的地方
(2) 由勘根知\(g\left( x \right)=0\) 的兩根分別落在區間 \(\left( a,b \right),\left( b,c \right)\), 故可推知 \(b=0\)
(3) 最後，\(g\left( x \right)=\left( x-b \right)\left( x-c \right)+2\left( x-a \right)\left( x-c \right)+3\left( x-a \right)\left( x-b \right)=6\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\)
代 \(x=0\Rightarrow ac=-3,x=a\Rightarrow a\left( a-c \right)=6\left( {{a}^{2}}-1 \right)\), 解出 \(a=\frac{-3}{\sqrt{5}},c=\sqrt{5}\)
計算2：
令\(P\left( i \right),P'\left( i \right)\)分別代表甲乙擲到最大點數為\(i\)之機率，則
\(P\left( i \right)=\frac{2i-1}{{{6}^{2}}},P'\left( i \right)=\frac{3{{i}^{2}}-3i+1}{{{6}^{3}}},1\le i\le 6\), 則甲獲勝之機率為
\(\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( P\left( k \right)\sum\limits_{i=1}^{k}{P'\left( i \right)} \right)}=\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( \frac{2k-1}{{{6}^{2}}}\cdot {{\left( \frac{k}{6} \right)}^{3}} \right)}=\frac{1}{{{6}^{5}}}\sum\limits_{k=1}^{6}{\left( {{k}^{3}}\left( 2k-1 \right) \right)}>\frac{1}{2}\)
最後面的計算我是先寫開，然後估計一下分子分母的千位數得知，不知道有沒有更好的估計法，故本題甲獲勝的機率較大。
若手殘算錯也請大家幫小弟指證~遇到這種問題好像都很常算錯~唉
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-11 02:14 PM 編輯 [/i]]
想請教填充7和8
感恩 謝謝回復 5# cherryhung 的帖子
[b]填 7. [/b]第一個方程移項可得 \( 2^x = 4 -x \)，由 \( y = 2^x, y=4-x \) 兩函數圖形知方程式有唯一解 \( x = \alpha \)
\( 2^{4-x} = x \)，令 \( x' = 4-x \)，則 \( 2^{x'} = 4-x' \)，故此方程式之解亦為 \( x' = \alpha \Rightarrow \beta = 4 - \alpha \Rightarrow \alpha + \beta =4 \)
[b]填 8.[/b] 微積分基本定理，積分均值定理
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-11 11:30 PM 編輯 [/i]] 想請問計算第三題 為何當x=c時不可能發生極值
回復 7# peter0210 的帖子
因為極值會發生在一階導數由正轉負或由負轉正的瞬間這是一階導數測試法的精神，而本題在x=c的附近f'(x)為同號，
故不會產生極值
舉例來說 , y=x^3 在x=0 的附近就是這個情況
希望這樣能解釋到:)
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-11 11:21 PM 編輯 [/i]] 填充第十題，我算出來的答案是241，正確答案是241/4，想請問哪邊我沒有考慮到？
回復 9# smartdan 的帖子
\(f\left( x \right)=2\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)\left( x-\gamma \right)\left( x-\delta \right)\)是不是前面這個2 ? 請問hua0127老師
怎麼檢驗x=c的附近f'(x)為同號
當我代入比c大的數 可看出f'(x)>0
但是代入比c小的數 好像看不出來f'(x)>0???
再麻煩了
回復 11# peter0210 的帖子
其實跟解不等式的觀念依樣，以本題的結論來說\(f'\left( x \right)=6\left( x-b \right){{\left( x-c \right)}^{2}}\left( x+1 \right)\left( x-1 \right)\), 各區域的正負號如下
你帶的值在\(\left( 1,c \right)\)之間得到的值一定為正
就算不知道1,-1的相對位置也無妨， 不等式中有\({{\left( x-c \right)}^{2}}\)
就暗示了f'(x)在c的"附近"一定會同號，
這個附近就是一個包含c的"鄰域"的概念(neighborhood 或 open ball)
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-12 10:05 PM 編輯 [/i]] 請問填充3，該怎麼想呢?
"若幾位同學的總分為0"這句話是什麼意思呢?
是指只要有2個人總分為0、或3人總分為0、或4人總分為0
這些情況的總和嗎?
[[i] 本帖最後由 justine 於 2014-6-13 04:30 PM 編輯 [/i]]
回復 13# justine 的帖子
以答案來看，應該是只有4人總分為0，否則答案應該不只44種~敘述是應該要清楚一點(A,B,C,D) 情況有 (21,-21,7,-7), (21,-7,-7,-7), (-21,7,7,7), (21,-21,21,-21), (7,-7,7,-7)
排列一下剛好44種。
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-13 05:27 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2014-6-12 08:58 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11135&ptid=1925][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
\(f\left( x \right)=2\left( x-\alpha \right)\left( x-\beta \right)\left( x-\gamma \right)\left( x-\delta \right)\)
是不是前面這個2 ? [/quote]
我是將
\(f\left( x \right)=\left( \sqrt{2}-\alpha \right)\left( \sqrt{2}-\beta \right)\left( \sqrt{2}-\gamma \right)\left( \sqrt{2}-\delta \right)\left( -\sqrt{2}-\alpha \right)\left( -\sqrt{2}-\beta \right)\left( -\sqrt{2}-\gamma \right)\left( -\sqrt{2}-\delta \right)\)
=\(f\left( \sqrt{2} \right)\)\(f\left( -\sqrt{2} \right)\)
這樣的算法哪邊出了問題呢？
[[i] 本帖最後由 smartdan 於 2014-6-14 11:58 AM 編輯 [/i]]
回復 15# smartdan 的帖子
原多項式f的首項係數為2, 所以\(f\left( \sqrt{2} \right)f\left( -\sqrt{2} \right)=4\left( 2-{{\alpha }^{2}} \right)\left( 2-{{\beta }^{2}} \right)\left( 2-{{\gamma }^{2}} \right)\left( 2-{{\delta }^{2}} \right)\)回復 6# tsusy 的帖子
懂了~非常感謝~回復 1# natureling 的帖子
填充題第二題我就用偷吃步的方法 剛剛有老師問我。我看了一下題目。
我覺得題目給的條件，不會因為三角形影響。答案應該是一個定值
畢竟在考場上，時間就是金錢
解法
就把Ａ點令為原點，Ｂ（４,0)，C(0,6)
因此這個直角三角形，很快可以算出外心(2,3)
接著ＡＢ向量，ＡＣ向量都可以很快求出。已經座標化了。
接著在去內積就可以算出 ２６
應該還有更嚴謹的解法。
也可直接利用內積定義 (*表示內積)
AO * AB =1 / 2 (AB^2)
AO * AC =1 / 2 (AC^2)
所以所求為 1 / 2 (4^2+6^2) =26
利用外心的內積公式
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-6-18 12:23 PM 編輯 [/i]]
回復 14# hua0127 的帖子
沒錯，第三題，就直接說明四個人總分是０分。題目還打出 若幾位同學 。出題目老師沒有彼此間審核過。
我也是這樣分類討論， 答案 ４４
[[i] 本帖最後由 shingjay176 於 2014-6-18 10:47 AM 編輯 [/i]]
回復 19# shingjay176 的帖子
填充題第四題\[\begin{array}{l}
{a_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\\
{S_1} = {a_1} = {\left( { - 1} \right)^2} = 1\\
{S_2} = {a_1} + {a_2} = 1 + {\left( { - 1} \right)^3} = 0\\
{S_3} = 1\\
{S_4} = 0\\
\vdots
\end{array}\]
觀察規則可知
\[\begin{array}{l}
{C_n} = \frac{{{S_1} + {S_2} + \cdots + {S_n}}}{n} = \frac{{\frac{1}{2}n}}{n}\;\; \vee \;\;\frac{{\frac{1}{2}n + 1}}{n}\\
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {C_n} = \frac{1}{2}
\end{array}\]
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