103嘉義高中
已公布試題，請各位老師參閱~ 1.若z為複數，且滿足\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=1 \)，則\( \displaystyle z^{103}+\frac{1}{z^{103}}= \)[u] [/u]。
[公式]
若\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=2 cos \theta \)，則\( \displaystyle z^n+\frac{1}{z^n}=2cos n \theta \)
6.
設a,b,c三數滿足\( \cases{a+b+c=4 \cr a^2+b^2+c^2=12 \cr a^3+b^3+c^3=31} \)且\( a>b>c \)，令\( f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)=0 \)，則序組\( (a,b,c)= \)[u] [/u]。
(我的教甄準備之路 利用根與係數的關係解聯立方程式，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=661&page=1#pid1076[/url])
10.
點光源O將\( \overline{AD} \)投影到\( \overline{A'D'} \)，且\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=1 \)，若\( \overline{A'B'}=3 \)，\( \overline{B'C'}=5 \)，則\( \overline{C'D'}= \)[u] [/u]。
\( \overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=1 \)，\( \overline{EF}=2 \)，\( \overline{FG}=3 \)，則\( \overline{GH}= \)[u] [/u]。
連結有解答
(97師大附中二招，[url]https://math.pro/db/thread-703-1-1.html[/url])
11.
在ΔABC中，\( \overline{AC}=5 \)、\( \overline{AB}=7 \)、\( \overline{BC}=8 \)，P為任意一點，則\( \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC} \)的最小值為[u] [/u]。
[公式]
當P為ΔABC的重心時有最小值，\( \displaystyle \overline{PA}^2+\overline{PB}^2+\overline{PC}^2=\frac{1}{3}(\overline{AB}^2+\overline{BC}^2+\overline{CA}^2) \)
12.
已知銳角三角形的三高交點為垂心，而此垂心是三個垂足點所成三角形的內心。在ΔABC中，\( \overline{AD}⊥\overline{BC} \)，\( \overline{BE}⊥\overline{AC} \)，\( \overline{CF}⊥\overline{AB} \)，且\( \overline{AC}=5 \)、\( \overline{AB}=7 \)、\( \overline{BC}=8 \)，則ΔDEF之周長為[u] [/u]。
[公式]
\( \displaystyle \frac{(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}{2abc} \)
公式的證明
[url]http://www.nhjh.cy.edu.tw/group1/science-visit/content/100/math10003.pdf[/url]
13.
在坐標平面上有五個點\( P_1(1,1) \)、\( \displaystyle P_2(2,\frac{1}{2}) \)、\( \displaystyle P_3(3,\frac{1}{3}) \)、\( \displaystyle P_4(4,\frac{1}{4}) \)、\( \displaystyle P_5(5,\frac{1}{5}) \)。
(1)請用拉格朗日(Lagrange)插值法找一個四次函數\( y=f(x) \)通過上述五個點來估計\( f(6) \)的值為[u] [/u]。
[解答]
我用差分來做
\( \displaystyle \matrix{f(1) & & f(2) & & f(3) & & f(4) & & f(5) & & f(6) \cr
1 & & \frac{1}{2} & & \frac{1}{3} & & \frac{1}{4} & & \frac{1}{5} & & \frac{1}{3} \cr
& -\frac{1}{2} & & -\frac{1}{6} & & -\frac{1}{12} & & -\frac{1}{20} & & \frac{2}{15} & \cr
& & \frac{1}{3} & & \frac{1}{12} & & \frac{1}{30} & & \frac{11}{60} & & \cr
& & & -\frac{1}{4} & & -\frac{1}{20} & & \frac{3}{20} & & & \cr
& & & & \frac{1}{5} & & \frac{1}{5} & & & & } \)
計算2(1)
給定正五邊形ABCDE，\( \overline{AB}=1 \)，則由五對角線所圍成正五邊形PQRST的面積是正五邊形ABCDE的面積的幾倍？(化成最簡比)
連接正五邊形ABCDE的五條對角線，圍成一個較小的正五邊形FGHIJ，在繼續作五條對角線再圍成更小的正五邊形，如灰色區域。若灰色區域的邊長為1，則正五邊形ABCDE的面積為灰色面積的\( \Phi^k \)倍，則\( k= \)[u] [/u]。\( \displaystyle \Phi=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \)
(100楊梅高中，[url]https://math.pro/db/viewthread.php?tid=1162&page=2#pid4463[/url])
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-6-7 08:12 PM 編輯 [/i]]
回復 2# bugmens 的帖子
感謝版主辛苦的整理以及wen0623兄提供題目第12題的公式也可有人這樣記：
\(4R\sin A\sin B\sin C=\frac{abc}{2{{R}^{2}}}=\frac{2\Delta }{R}\)
\(4R\sin A\sin B\sin C=2\sin A\left( 2R\sin B\sin C \right)=2\sin A\left( b\sin C \right)=2{{h}_{a}}\sin A\)
計算2(2)
\(\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}\)
\(\cos A=-\cos C\Rightarrow {{n}^{2}}=\frac{\left( ab+cd \right)\left( ac+bd \right)}{ad+bc}\)
兩式相除開根號即可
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-7 08:24 PM 編輯 [/i]] 想請教填充9,14...謝謝....
[quote]原帖由 [i]wen0623[/i] 於 2014-6-7 06:06 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11005&ptid=1923][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
已公布試題，請各位老師參閱~ [/quote] 若它限定要透過托勒密(Ptolemy)定理去算呢??感恩@@
[quote]原帖由 [i]bugmens[/i] 於 2014-6-7 06:11 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11006&ptid=1923][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
1.
若z為複數，且滿足\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=1 \)，則\( \displaystyle z^{103}+\frac{1}{z^{103}}= \) 。
[公式]
若\( \displaystyle z+\frac{1}{z}=2 cos \theta \)，則\( \displaystyle z^n+\frac{1}{z^n}= ... [/quote]
回復 4# natureling 的帖子
填充 9. 由算幾不等式有 \( \frac{x^{4}+x^{4}+x^{4}+1}{4}\geq|x^{3}|\Rightarrow|m|\geq1 \)當 \( x = 1 \) 時，\( m = 1 \)；\( x = -1 \) 時，\( m = -1 \)
\( m \) 的範圍為 \( m \geq 1 \), 或 \( m \leq -1 \)
(我只檢查了 \( \pm 1 \)，範圍裡的其它數是否要檢查？要怎麼檢查？就留給你自己思考了)
考古題類題 99基隆女中、98嘉義高中、97台南二中，這一年好像其它學校也考過
設 \( m \) 為實數，若四次方程式 \( 3x^{4}-4mx^{3}+1=0 \) 無實數根，則 \( m \) 的範圍為 __________。
填充 14. 考古類題 100北市陽明高中
拋物線 \( y^{2}=8x \)，一直線與此拋物線交於 A、B 兩點，且直線與拋物線所圍成的面積為定值 \( \frac{2}{3} \)，則 A、B 中點所形成的軌跡方程式為 __________。
[[i] 本帖最後由 tsusy 於 2014-6-7 09:45 PM 編輯 [/i]]
回復 4# natureling 的帖子
第9題：注意到函數m在0是不連續的，故考慮區間\(\left( -\infty ,0 \right)\cup \left( 0,\infty \right)\)
直接微分，用一階導數測試法知m在\(\left( -\infty ,0 \right)\)有唯一極大值m(-1)=-1；在\(\left( 0,\infty \right)\)有唯一極小值m(1)=1
因為\(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,m\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,m\left( x \right)=-\infty \), 知y軸為m之漸近線，
故圖形大致已經抵定，函數的值域為 \(\left\{ \left. m \right|m\ge 1\,\,\,\,or\,\,\,m\le -1 \right\}\)
填充14題我的作法有點暴力，直覺上應該有秒殺作法，等待橢圓兄、寸絲兄等高手出招XD小弟就先不獻醜了
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-7 09:55 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]natureling[/i] 於 2014-6-7 09:24 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11009&ptid=1923][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
想請教填充9,14...謝謝....
[/quote]
填14:
A(a,a²) , B(b,b²)
AB直線: (y-a²)/(x-a)=(b²-a²)/(b-a)=b+a
y=(b+a)(x-a)+a²
∫ {a to b} [ (b+a)(x-a)+a² -x² ] dx =4/3
可整理得(b-a)^3=8 , b-a=2----------(1)
假設AB的中點為(X,Y)=( (a+b) /2 , (a²+b²)/2 )
則a+b=2X -----------(2)
Y=2X²-ab------------(3)
又(a-b)²=(a+b)²-4ab=(2X)²-4ab=4 (by (1)&(2))
可得ab=X²-1代入(3)
Y=2X²-(X²-1)=X²+1 為所求軌跡
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-7 10:46 PM 編輯 [/i]]
回復 5# natureling 的帖子
恩....那算一邊\(\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}\)
在利用 mn=ac+bd
在相除這樣算嗎?會不會太無賴XD hua0127老師謝謝您..另外我也想要問第2題的(1)怎麼使用定理^^"
[quote]原帖由 [i]hua0127[/i] 於 2014-6-7 09:52 PM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11014&ptid=1923][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
恩....那算一邊
\(\cos B=-\cos D\Rightarrow {{m}^{2}}=\frac{\left( ac+bd \right)\left( ad+bc \right)}{ab+cd}\)
在利用 mn=ac+bd
在相除這樣算嗎?會不會太無賴XD [/quote]
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這邊用到托勒密定理比較方便的地方應該是BE / AB = \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)令BE=x , 則 \(x\cdot x=x\cdot 1+1\cdot 1\Rightarrow x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\)
回復 8# Ellipse 的帖子
果然橢圓兄化減得簡潔漂亮多了~容小弟整理一下：(1) 若本題面積改為任意的實數\(k>0\), 由橢圓兄提供的簡潔面積算式可推出：
\[\frac{1}{6}{{\left( \beta -\alpha \right)}^{3}}=k\Rightarrow {{\left( \beta -\alpha \right)}^{3}}=6k\], 由於\(\beta >\alpha \), 取\(\beta -\alpha =\sqrt[3]{6k}\),仿橢圓兄作法，另一方面，由\[{{\left( \alpha -\beta \right)}^{2}}={{\left( \alpha +\beta \right)}^{2}}-4\alpha \beta =\sqrt[3]{36{{k}^{2}}}=4{{X}^{2}}-4\alpha \beta \Rightarrow \alpha \beta ={{X}^{2}}-\frac{\sqrt[3]{36{{k}^{2}}}}{4}\].
故中點\(\left( X,Y \right)\)滿足方程式\(Y=2{{X}^{2}}-\alpha \beta ={{X}^{2}}+\frac{\sqrt[3]{36{{k}^{2}}}}{4}\).
這形式的重點應該是說，無論面積為何，所求軌跡必為一以\(y\)軸為軸之拋物線。
(2) 利用此結論，做填充題時我們只要求出頂點即可，解\(\int_{-\alpha }^{\alpha }{\left( {{\alpha }^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx}=\frac{4}{3}\), 可馬上得到\(\alpha =1\), 故本題答案\(y={{x}^{2}}+1\).
回復 12# hua0127 的帖子
請問最後一行的積分式如何來的?[[i] 本帖最後由 Herstein 於 2014-6-8 09:45 AM 編輯 [/i]] 計算1. 試求滿足103x+17y=2014的所有正整數解及一般整數解。
法1：歐拉法
17y=2014-103x
17y=118＊17+8-6＊17x-x
y=118-6x +1/17(8-x)
Let x=8+17t，t∈Z
y=118-6(8+17t)-t=70-103t
當t=0時 x,y為正整數解
法2：輾轉相除法
由輾轉相除法原理得知 (103,17)=1且1=103-17＊6
同乘2014
2014=103＊2014-17＊6＊2014
Put x=2014，y=-6＊2014
Let x=2014+17t，y=-6＊2014-103t，t∈Z
欲求x,y都是正整數
x=2014+17t > 0
t>-118.‧‧‧‧‧‧
y=-6＊2014-103t > 0
t<-117.‧‧‧‧‧‧
故知t=-118
帶入x=2014+17t，y=-6＊2014-103t
x=8，y=70
小弟的數論和微分方程算是很弱的一環，常常考試的時候都敗在這類題目，不知道各位老師有沒有更快的做法?
[[i] 本帖最後由 wrty2451 於 2014-6-8 01:08 PM 編輯 [/i]] [quote]原帖由 [i]wrty2451[/i] 於 2014-6-8 10:36 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11023&ptid=1923][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
計算1. 試求滿足103x+17y=2014的所有正整數解及一般整數解。
17y=2014-103x
17y=118＊17+8-6＊17x-x
y=118-6x +1/17(8-x)
Let x=8+17t
y=118-6(8+17t)-t=70-103t
當t=0時 x,y為正整數解
小弟的數論和微分方程算是很弱的 ... [/quote]
法1:輾轉相除法
法2:歐拉法 (就是您用的方法)
法3:連分式
法4:聽說還可以用矩陣做
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-6-8 10:48 AM 編輯 [/i]]
回復 15# Ellipse 的帖子
原來那叫做歐拉法......謝謝橢圓兄
我再想想要如何利用另外的做法算出來 [quote]原帖由 [i]wrty2451[/i] 於 2014-6-8 10:51 AM 發表 [url=https://math.pro/db/redirect.php?goto=findpost&pid=11025&ptid=1923][img]https://math.pro/db/images/common/back.gif[/img][/url]
原來那叫做歐拉法......
謝謝橢圓兄
我再想想要如何利用另外的做法算出來 [/quote]
這些方法的原理都來自
"輾轉相除法"
回復 13# Herstein 的帖子
考慮直線為水平線\(y={{\alpha }^{2}}\)時，此時中點會產生在拋物線的軸上，此點必為頂點
回復 15# Ellipse 的帖子
橢圓兄所提到的矩陣法應該是這個方法：考慮增廣矩陣做列運算\(\left( \begin{matrix}
103 & 1 & 0 \\
17 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)\to \left( \begin{matrix}
1 & 1 & -6 \\
17 & 0 & 1 \\
\end{matrix} \right)\to \left( \begin{matrix}
1 & 1 & -6 \\
0 & -17 & 103 \\
\end{matrix} \right)\)
則不定方程式\(103x+17y=2014\)的整數通解為
\(\left\{ \begin{align}
& x=2014\left( 1 \right)-17t \\
& y=2014\left( -6 \right)+103t \\
\end{align} \right.,t\in \mathbb{Z}\)
其實不會特別快XD，速度上差不多，原理都是找一組特解再放大(輾轉相除法)
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-6-8 03:04 PM 編輯 [/i]] 計算2-2
以下提供幾何方式，運用托勒密定理而不用餘弦定理
\(\displaystyle mn=ac+bd \cdots (1) \)
過C作BD平行線與圓交於E，連接EB、ED、EA，那麼 \(\displaystyle BE=CD=c,DE=BC=b \)
再對ABED用托勒密定理得到 \(\displaystyle n \times AE=ab+cd \cdots (2) \)
同樣的過B作AC的平行線與圓交於F，連接FA、FC、FD，那麼 \(\displaystyle FA=BC=b,FC=AB=a \)
再對AFCD用托勒密定理得到 \(\displaystyle m \times DF=ad+bc \cdots (3) \)
因為 \(\displaystyle DE=BC=AF \)，所以 \(\displaystyle AE=DF \)
(1)(3)相乘再除以(2) 得到 \(\displaystyle m^2=\frac{(ac+bd)(ad+bc)}{ab+cd} \)
(1)(2)相乘再除以(3) 得到 \(\displaystyle n^2=\frac{(ac+bd)(ab+cd)}{ad+bc} \)
最後得證
另外，填充12要記公式的話，推薦 \(\displaystyle a \cos A+b \cos B+c \cos C \)
雖不好算，但很實在。
[[i] 本帖最後由 lyingheart 於 2014-6-8 10:39 PM 編輯 [/i]]
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