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bch0722b 發表於 2014-6-6 18:19

幾何證明請教

已知四邊形ABCD為一箏形,且[b]AB=AD[/b] ,[b]CB=CD[/b],對角線AC與BD交於O。
今[b]過O點[/b]作一任意直線交[b]AB[/b]於[b]E[/b],[b]CD[/b]於[b]F[/b]。再做另一任意直線[b]過O[/b]交[b]AD[/b]於[b]G[/b],[b]BC[/b]於[b]H[/b]。連[b]EH[/b]交[b]BD[/b]於[b]I[/b],連[b]GF[/b]交[b]BD[/b]於[b]J[/b]。
證明:OI=OJ

[[i] 本帖最後由 bch0722b 於 2014-6-6 06:23 PM 編輯 [/i]]

thepiano 發表於 2014-6-6 20:22

回復 1# bch0722b 的帖子

很像蝴蝶定理


\(\begin{align}
  & \angle AOE=\angle COF=\alpha  \\
& \angle BOE=\angle DOF=\beta  \\
& \angle BOH=\angle DOG=\gamma  \\
& \angle COH=\angle AOG=\omega  \\
\end{align}\)

由張角定理
\(\begin{align}
  & \frac{1}{\overline{OE}}=\frac{\sin \beta }{\overline{OA}}+\frac{\sin \alpha }{\overline{OB}} \\
& \frac{1}{\overline{OH}}=\frac{\sin \omega }{\overline{OB}}+\frac{\sin \gamma }{\overline{OC}} \\
& \frac{\sin \left( \beta +\gamma  \right)}{\overline{OI}}=\frac{\sin \gamma }{\overline{OE}}+\frac{\sin \beta }{\overline{OH}}=\frac{\sin \beta \sin \gamma }{\overline{OA}}+\frac{\sin \alpha \sin \gamma }{\overline{OB}}+\frac{\sin \beta \sin \omega }{\overline{OB}}+\frac{\sin \beta \sin \gamma }{\overline{OC}} \\
&  \\
& \frac{1}{\overline{OF}}=\frac{\sin \beta }{\overline{OC}}+\frac{\sin \alpha }{\overline{OD}} \\
& \frac{1}{\overline{OG}}=\frac{\sin \gamma }{\overline{OA}}+\frac{\sin \omega }{\overline{OD}} \\
& \frac{\sin \left( \beta +\gamma  \right)}{\overline{OJ}}=\frac{\sin \gamma }{\overline{OF}}+\frac{\sin \beta }{\overline{OG}}=\frac{\sin \beta \sin \gamma }{\overline{OC}}+\frac{\sin \alpha \sin \gamma }{\overline{OD}}+\frac{\sin \beta \sin \gamma }{\overline{OA}}+\frac{\sin \beta \sin \omega }{\overline{OD}} \\
&  \\
& \overline{OB}=\overline{OD} \\
& \overline{OI}=\overline{OJ} \\
\end{align}\)

Ellipse 發表於 2014-6-7 11:16

這題好像從大陸那邊來的
他們叫"箏形定理"

bch0722b 發表於 2014-6-7 17:21

謝謝鋼琴老師,我用過座標證出,但超噁爛。
這簡潔多了,謝謝

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