[微積分] 數列收斂的科西準則
數列收斂的科西準則是指，[indent][b][color=black]對給定任意小的正實數ε，皆可找到在一個項數m(m隨ε而變)，[/color][/b]
[b][color=black]使得在此項數m之後，[/color][/b]
[b][color=black]隨便抓兩項的差都會小於ε (|ai-aj|<ε for any i,j>m)。[/color][/b]
[/indent]若滿足此條件，則此數列一定會收斂。
更進一步可以證明，科西準則跟數列收斂的ε-δ定義式是等價的。
比如說，
若數列的一般項 an=1/n，則此數列滿足科西準則，理由如下：
[indent][b]因為，對任意 ε>0 可取 m= [2/ε]+1 [color=gray](如此 m > 2/ε 必成立)[/color]，則[/b]
[b]對任意 i,j>m ，|ai-aj| = |1/i - 1/j| < 1/i+1/j < 2/m < ε 。[/b]
[/indent]
若 an=(-1)^n 就沒有滿足科西準則。
[url=http://mathworld.wolfram.com/CauchysInequality.html][color=blue][u]科西不等式(Cauchy–Schwarz inequality)[/u][/color][/url]跟[url=http://mathworld.wolfram.com/CauchyCriterion.html][color=blue][u]柯西準則(Cauchy criterion)[/u][/color][/url]是不一樣的東西，科西準則一般是指判斷數列收斂的一種條件。
原討論串在：[url=http://www.student.tw/db/showthread.php?t=100076]http://www.student.tw/db/showthread.php?t=100076[/url]
頁:
[1]