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weiye 發表於 2007-3-21 02:06

[微積分] 數列收斂的科西準則

數列收斂的科西準則是指,
[indent][b][color=black]對給定任意小的正實數ε,皆可找到在一個項數m(m隨ε而變),[/color][/b]

[b][color=black]使得在此項數m之後,[/color][/b]

[b][color=black]隨便抓兩項的差都會小於ε (|ai-aj|<ε for any i,j>m)。[/color][/b]
[/indent]若滿足此條件,則此數列一定會收斂。

更進一步可以證明,科西準則跟數列收斂的ε-δ定義式是等價的。



比如說,

若數列的一般項 an=1/n,則此數列滿足科西準則,理由如下:
[indent][b]因為,對任意 ε>0 可取 m= [2/ε]+1 [color=gray](如此 m > 2/ε 必成立)[/color],則[/b]

[b]對任意 i,j>m ,|ai-aj| = |1/i - 1/j| < 1/i+1/j < 2/m < ε 。[/b]
[/indent]
若 an=(-1)^n 就沒有滿足科西準則。



[url=http://mathworld.wolfram.com/CauchysInequality.html][color=blue][u]科西不等式(Cauchy–Schwarz inequality)[/u][/color][/url]跟[url=http://mathworld.wolfram.com/CauchyCriterion.html][color=blue][u]柯西準則(Cauchy criterion)[/u][/color][/url]是不一樣的東西,科西準則一般是指判斷數列收斂的一種條件。



原討論串在:[url=http://www.student.tw/db/showthread.php?t=100076]http://www.student.tw/db/showthread.php?t=100076[/url]

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