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三助:自助、人助、天助。

bch0722b 發表於 2014-5-29 14:30

一題證明 1/a+1/b+1/c=1/a+b+c 證1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n

if[b] 1/a[/b]+[b]1/b[/b]+[b]1/c[/b]=1/a+b+c

試證明[b]1/a^n[/b]+[b]1/b^n[/b]+[b]1/c^n[/b]=1/(a+b+c)^n

thepiano 發表於 2014-5-29 14:52

n 應為奇數

同乘以\(abc\),可整理並分解成\(\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)=0\)

故\(a+b,b+c,c+a\)必至少有一為0

\({{a}^{n}}+{{b}^{n}},{{b}^{n}}+{{c}^{n}},{{c}^{n}}+{{a}^{n}}\)必至少有一為 0

......

[[i] 本帖最後由 thepiano 於 2014-5-29 02:53 PM 編輯 [/i]]

hua0127 發表於 2014-5-29 14:53

回復 1# bch0722b 的帖子

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=\frac{\left( a+b \right)\left( b+c \right)\left( c+a \right)}{abc\left( a+b+c \right)}=0\) 可推知
\(a,b,c\) 至少有兩數互為相反數,
請問條件中的n是否需為正奇數?因為結論中偶數好像不一定合

考慮\(\left( a,b,c \right)=\left( 1,-1,1 \right)\), 則 \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}\) 但是
\(\frac{1}{{{a}^{2}}}+\frac{1}{{{b}^{2}}}+\frac{1}{{{c}^{2}}}\ne \frac{1}{{{\left( a+b+c \right)}^{2}}}\)

[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-29 02:59 PM 編輯 [/i]]

hua0127 發表於 2014-5-29 15:01

回復 2# thepiano 的帖子

鋼琴老師的式子簡潔有力!! n應為奇數應該就可以了,小弟也做個修正

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