99、100年台南一中科學班初試
因為在研究資優班的題目常常卡題，真的很感謝各位老師們不吝協助解題，
也很感謝有這個論壇可以詢問。
附件是99和100年的台南一中科學班考題，
共有7題想不出來怎麼解，
有一起附上解答，
再麻煩老師們指點，謝謝。
103.5.28補充
將題目重新打字，將來搜尋才找得到。
題目下載
[url]http://w3.tnfsh.tn.edu.tw/sec/downloads.htm[/url]
臺南一中99年科學班初試
8.
利用\( (\sqrt{5}+\sqrt{3})^6+(\sqrt{5}-\sqrt{3})^6=3904 \)，求小於\( \displaystyle \frac{1}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})^6} \)之最大整數為何？
(A)59 (B)60 (C)61 (D)62 (E)63
9.
當\( \displaystyle f(x)=x \sqrt{1-2x}(0 \le x \le \frac{1}{2}) \)有最大值時，\( \displaystyle x=\frac{n}{m} \)(化為最簡分數)，求\( m+n= \)？
(A)4 (B)5 (C)6 (D)7 (E)8
17.
如右圖，將平形四邊形兩對邊取五等分及四等分，並將等分點連成兩組等距離平行線。已知網狀中的小平行四邊形的面積為5，試求原來大的平行四邊形的面積？
(A)97.5 (B)100 (C)95 (D)85 (E)92.5
18.
如圖所示，A、B、C三圓彼此外切且均內切於圓D，已知B、C兩圓全等且半徑均為1，圓A通過圓D的圓心，則圓A的半徑為多少？
(A)\( \displaystyle \frac{3}{2} \) (B)\( \displaystyle \frac{2 \sqrt{3}}{3} \) (C)\( \displaystyle \frac{8}{7} \) (D)\( \displaystyle \frac{3(\sqrt{3}+1)}{2} \) (E)\( \displaystyle \frac{9}{8} \)
[臺南一中100科學班]
3.
設二次函數\( f(x)=ax^2+bx+c \)滿足條件：\( f(0)=2 \)，\( f(1)=-1 \)，且其圖形在x軸上所截得的線段長為\( 2\sqrt{2} \)，則\( a= \)[u] [/u]。
答案：1或\( \displaystyle -\frac{9}{7} \)
8.
△ABC中，\( \overline{AB}=\overline{AC}=6 \)，D、E分別在\( \overline{AB} \)、\( \overline{AC} \)上，\( \overline{AD}=\overline{AE}=2 \)，且\( \overline{CD}⊥\overline{BE} \)，則\( \overline{BC}= \)[u] [/u]。
答案：\( \displaystyle \frac{12 \sqrt{5}}{5} \)
12.
如圖，ABCD為一梯形且\( \overline{BC}// \overline{AD} \)，設\( ∠ADC=57^o \)，\( ∠DAB=33^o \)，\( \overline{BC}=6 \)，\( \overline{AD}=10 \)，若M、N分別為\( \overline{BC} \)、\( \overline{AD} \)之中點，求：(1)\( ∠MNA \)之度數 (2)\( \overline{MN} \)長
答案：\( 114^o \)、2
[[i] 本帖最後由 bugmens 於 2014-5-28 06:00 AM 編輯 [/i]]
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貢獻一題第8題：因為\(0<{{\left( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right)}^{6}}<1\), 可推得\(3903<{{\left( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right)}^{6}}<3904\), 故所求
\(\frac{1}{{{\left( \sqrt{5}-\sqrt{3} \right)}^{6}}}=\frac{{{\left( \sqrt{5}+\sqrt{3} \right)}^{6}}}{{{2}^{6}}}\)介於 \(\frac{3903}{64},\frac{3904}{64}\)之間，做除法得到答案為60
若有寫得不詳盡的地方歡迎再詢問:)
[[i] 本帖最後由 hua0127 於 2014-5-27 12:02 AM 編輯 [/i]] 第9題：
我想應該是不能使用微分，就來個算幾吧(不知道能不能用，若不能用我也無招了，只好等其他先進XD
因為在\(0\le x\le \frac{1}{2}\)下, \(1-2x\ge 0\), 利用算幾不等式：
\(\frac{x+x+\left( 1-2x \right)}{3}\ge \sqrt[3]{{{x}^{2}}\left( 1-2x \right)}\) 移項整理可推出所求的最大值，
但本題只關心此時的\(x\)值為何，故等號成立時，\(x=1-2x\Rightarrow x=\frac{1}{3}\), 故\(m+n=4\)
回復 1# ycdye 的帖子
睡不覺來算一題第3題，不太會用語法見圖檔。謝謝[b]bugmens[/b]老師幫忙打字，已將圖檔移除。103.5.27
103.5.27將圖檔重新打字
3.
\( f(x)=ax^2+bx+c \)
\( f(1)=-1 \)
\( f(0)=2 \)
∵\( f(0)=2 \)， ∴\( c=2 \)
\( \displaystyle x=\frac{-b+-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \)(和x軸交點)
\( \displaystyle \frac{2 \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=2 \sqrt{2} \)
\( \sqrt{b^2-4ac}=2 \sqrt{2}a \)
\( b^2-4ac=8a^2 \)
\( b^2=8a^2+8a \) －－①
\( f(1)=a+b+c=-1 \)
\( a+b=-3 \) －－② (②代入①)
\( 9+6a+a^2=8a^2+8a \)
\( 7a^2+2a-9=0 \)
\( \displaystyle a=1 or -\frac{9}{7} \)
[[i] 本帖最後由 wrty2451 於 2014-5-27 05:30 PM 編輯 [/i]] 請參考
回復 1# ycdye 的帖子
第18題：設圓D圓心為O, BC 中點為M，圓A半徑為y, OM長度為x, 則
可推知長度 AB=y+1, AM=x+y, OB=2r-1, BM=1, 由畢氏定理知
\(\left\{ \begin{align}
& {{x}^{2}}+{{1}^{2}}={{\left( 2y-1 \right)}^{2}} \\
& {{\left( x+y \right)}^{2}}+{{1}^{2}}={{\left( y+1 \right)}^{2}} \\
\end{align} \right.\) 即可解出 \(y=\frac{9}{8}\) 第12題：
將直線AB、CD延伸出去交點設為O, 則三角形OAB為直角三角形，
因為N為AD中點，亦為三角形OAB的外心，所以ON=DN=AN=5
可得三角形ODN為等腰三角形，所以角MNA為2倍角ODN(外角)
故角MNA=114度
再來因為ON=5, OM:MN=3 : (5-3)=3:2, 故MN長度為2 請參考 #17
也可以用拼圖方式處理
可拼出19個面積為5的平形四邊形
[[i] 本帖最後由 Ellipse 於 2014-5-28 09:28 PM 編輯 [/i]] 謝謝各位老師的詳細解答，
一直以來總是受到各位老師的幫忙。
也謝謝bugmens老師協助把題目打成文字，
想請教一下要怎麼寫出那些算式？
如果我會的話，下次我可以直接打成文字，
才不會一直勞煩bugmens老師，真是抱歉。 你能參考這篇的文章將Mathtype轉換成Latex code
[url]https://math.pro/db/thread-1895-1-1.html[/url]
但我當初學習時是從這裡的範例開始，點右鍵看網頁的原始碼，再修改成我想要的內容。
[url]http://www.math.union.edu/~dpvc/jsmath/examples/welcome.html[/url] 謝謝bugmens老師！！！
我來研究看看^^
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